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26.1.2二次函数课件 2用

发布时间:2013-12-15 15:37:40  

26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质

二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ? 0) 的函数,叫做二次函数。

注意:
1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次向系数 bx是一次项,b是一次项系数 c是常数项。 2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.

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问题:

(1)你们喜欢打篮球吗? (2)你们知道:投篮时,篮球运动的 路线是什么曲线?怎样计算篮球达到 最高点时的高度?

回顾
二次函数的图象是 什么样子的?

一次函数的图象

一条直线

双曲线

反比例函数的图象

探究
画二次函数

y ? x 的图象。
2

描点法

解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对 应值表: x y … -3 -2 -1 0 … 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9 … …

(2)在平面直角坐标系中描点:
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1

y=

2 x

o
-2

1

2

3

4

x

(3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= x2 的图象.

探究
画二次函数

y ? ? x 的图象。 描点法
2

解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对 应值表: x y … -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0 1 2 3 …

-1 -4 -9 …

(2)在平面直角坐标系中描点:
y
-4 -3 -2 -1

o
-2 -4 -6 -8

1

2

3

4

x

y = - x2
-10

(3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= -x2 的图象.

观察 y ? x 2 这个函数的图象,它有什么特点?

观察 y ? ? x 2 这个函数的图象,它有什么特点?

观察姚明的投篮……

二次函数的图象是不是跟投篮路线很像?

知识要点
抛物线: 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象叫做抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 。
2

抛物线

抛物线

对称轴、顶点、最低点、最高点

y?x

2

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y?x

2

当x=1时,y=1 当x=2时,y=4

当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1

抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外),顶点是它的最 低点,开口向上,并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小, 最小值是0.

抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展, 当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
y

y ? ?x

2

y ? x2

y = x2、y= - x2
y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y = x2 (0,0) y轴
在x轴上方(除顶点外)

y = - x2 (0,0) y轴
在x轴下方( 除顶点外)

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x=0时,最小值为0


当x=0时,最大值为0

例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象: 1.列表: x … -2 -1 0 1 2 2.描点: y=x2 y=2x2 3.连线: 1 y= 2 x2 y=2x2 y=x2

1



探究
顶点坐标

y= 2 x2

1

a>0,开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同

只是开口 大小不同 顶点都是原点(0,0)

例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 1 x2的图象: 2 1.列表: x … -2 -1 0 1 2 2.描点: y=-x2 y=-2x2 3.连线: 1 y=- 2 x2
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2



顶点坐标

? ?

×x×x

y=2x2

y=x2

y= 1 x2 2

a < 0,开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.

y=-x2
y=-2x2

只是开口 大小不同 y=- 1 x2 2

y = ax2

抛物线

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性

y=ax2 (a>0) (0,0) y轴
在x轴的上方(除顶点外)

y= ax2 (a<0) (0,0) y轴
在x轴的下方( 除顶点外)

向上
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

向下
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

最值 开口大小

知识要点
y 一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴,顶 原点 上 点是_______. 当a > 0时,抛物线的开口向__,顶 最低点 点是抛物线的________,a 越大,抛物线的开口越 小 下 ___;当a < 0时,抛物线的开口向____,顶点是抛 物线的最____点,a 越大,抛物线的开口越____. 高 大

思考题
已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)
(1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上。 解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2,所以点B(-1 ,-4) 不在此抛物线上。

课堂小结
1. 二次函数:
形如 y ? ax 2 ? bx ? c (a、b、c是常数,a≠0) 的函数叫做 x 的二次函数,a叫做二次函数的系数, b叫做一次项的系数,c叫作常数项。

2、抛物线:
二次函数的图象都是抛物线。

3、抛物线 y=ax2 的图象 :
y 一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴,顶 原点 上 点是_______. 当a > 0时,抛物线的开口向__,顶 最低点 点是抛物线的________,a 越大,抛物线的开口越 小 下 ___;当a < 0时,抛物线的开口向____,顶点是抛 高 物线的最____点,a 越大,抛物线的开口越____. 大

4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。 a相同开口方向相同、形状相同,|a|越大,开口越小。


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