haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

概率的意义

发布时间:2013-09-21 10:45:52  

概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪,本来是由保险 事业的发展而产生的,但是来自于赌博者 的请求,却是数学家们思考概率论问题的 源泉。 传说早在1654年,有一个赌徒梅累向当 时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很 久的问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁 先赢 3局就算赢,全部赌本就归谁。但是当 其中一个人赢了 2局,另一个人赢了1局的 时候,由于某种原因,赌博终止了。问:赌 本应该如何分法才合理?”

帕斯卡是17世纪著名的数学家,但 这个问题却让他苦苦思索了三年,三年后, 也就是1657年,荷兰著名的数学家惠更 斯企图自己解决这一问题,结果写成了 《论赌博中的计算》一书,这就是概率论 最早的一部著作。 近几十年来,随着科技的蓬勃发 展,概率论大量应用到国民经济、工农业 生产及各学科领域。许多兴起的应用数学, 如信息论、对策论、排队论、控制论等, 都是以概率论作为基础的。

生活中,有些事件我们事先肯定它一定会 发生,这些事件称为必然事件; 有些事情我们能肯定它一定不会发生,这 些事件称为不可能事件;必然事件与不可能事 件都是确定的事件。 有些事件我们事先无法肯定它会不会发生 ,这些事件称为不确定事件。 不确定事件发生的可能性是有大小的。

指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪 些是必然事件?哪些是随机事件?
(1)某地1月1日刮西北风;

(2)手电筒的电池没电,灯泡发亮.
(3)在标准大气压下,水在温度 90?c时沸腾; (4)直线 y ? k ?x ? 1? 过定点?? 1,0? ; (5)当 x 是实数时,x2 ≥ 0; (6)一个袋内装有形状大小相同的一个白球 和一个黑球,从中任意摸出1个球则为白球.

(7)、打开电视机,正在播广告; (8)、我区每年都会下雨; (9)、明天的太阳从西方升起来; (10)、掷两个骰子两个6朝上; (11)、异号两数相乘,积为正数; (12)、某种电器工作时,机身发热;

在同样条件下,随机事件可能发生,也可 能不发生,那么它发生的可能性有多大呢? 这是我们下面要讨论的问题。
探究:投掷硬币时,国徽朝上的可能 性有多大? 实验:让学生以同桌为一小组,每人 抛掷50次,记录正面朝上的次数。

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验, 结果如下表所示
抛掷次数(n) 2048 4040 12000 30000 24000 72088 正面朝上数(m) 1061 2048 6019 14984 12012 36124 0.518 0.506 0.501 0.4996 0.5005 0.5011 频率(m/n)
频率m/n
1

0.5

抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088

实验结论: 当抛硬币的次数很多时,出现下面的频率值是 稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动.

随机事件在一次试验中是否

发生虽然不能事先确定,但是在 大量重复试验的情况下,它的发 生呈现出一定的规律性.出现的 频率值接近于常数.

随机事件及其概率
某批乒乓球产品质量检查结果表:
优等品数
抽取球数 优等品频率

m

45 50

92 100

194 200
0.97

470 500
0.94

954 1000
0.954

1902 2000
0.951

n
m n

0.9 0.92

m 当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率 很多 n 常数 接近于常数0.95,在它附近摆动。

某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果 表:

当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽 很多

m 常数 的频率 接近于常数0.9,在它附近摆动。 n

随机事件及其概率
事件 A 的概率的定义:

一般地,在大量重复进行同一试 m 验时,事件A 发生的频率 (n为实验 n 的次数,m是事件发生的频数)总是接
近于某个常数,在它附近摆动,这时 就把这个常数叫做事件A 的概率,记 做 P? A? ? p .

由定义可知:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时, 这个常数才叫做事件A 的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概 率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性 的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的 概率为0.因此 0 ? P? A? ? 1 .

例1:对一批衬衫进行抽查,结果如下表:
抽取 件数n
优等 品件 数m

50

100

200

500

800

1000

42

88

176

445

724

901

优等 品频 0.84 率m/n

0.88

0.88

0.89

0.905 0.901

求抽取一件衬衫是优等品的概率约是多少? 抽取衬衫2000件,约有优质品几件?

例2填表

某射手进行射击,结果如下表所示:
射击次 数n 20 100 200 500 800

击中靶 心次数 13 m 击中靶 心频率 m/n

58

104 255 404

0.65

0.58

0.52

0.51

0.55

(2)这个射手射击一次,击中靶心 的概率是多少? 0.5 (3)这射手射击1600次,击中靶心的次数是 800 。

1.任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动 后,朝上的点数 可能,有哪些可 能 .

2.必然事件的概率为_____,不可能事件 的概率为______,不确定事件的概率范围 是______.

4.表中是一个机器人做9999次“抛硬币” 游戏时记录下的出现正面的频数和频率.
抛掷结果
出现正面 的频数 出现正面 的频率

5次

50 次

300 次

800 次

320 0次 158 0 49 .4 %

600 0次 298 0 49 .7 %

999 9次 500 6 50 .1 %

1

31

135

408

20 %

62 %

45 %

51 %

(1)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完5次 时,得到1次正面,正面出现的频率是20%,那 4 么,也就是说机器人抛掷完5次时,得到______ 次反面,反面出现的频率是______. 80%
(2)由这张频数和频率表可知,机器人抛 5006 掷完9999次时,得到______次正

面,正面出 现的频率是______.那么,也就是说机器人 50.1% 4994 抛掷完9999次时,得到_______次反面,反 49.9% 面出现的频率是________.

5.给出以下结论,错误的有( D ) ①如果一件事发生的机会只有十万分之一, 那么它就不可能发生. ②如果一件事发生 的机会达到99.5%,那么它就必然发生. ③如果一件事不是不可能发生的,那么它就 必然发生. ④如果一件事不是必然发生的 ,那么它就不可能发生.

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

6.一位保险推销员对人们说:“人有可 能得病,也有可能不得病,因此,得病与 B 不得病的概率各占50%”他的说法( ) A.正确 B.不正确

C.有时正确,有时不正确 D.应由气候等条件确定

7.某位同学一次掷出三个骰子三个全 是“6”的事件是( )

A.不可能事件B.必然事件
C.不确定事件可能性较大

D.不确定事件可能性较小

8. 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据 如下:

抽取 台数

50

100

200

300

500

1000

优等 品数

40

92

192

285

478

954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少?

解:⑴

各次优等品频率依次为

0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954

⑵优等品的概率为:0.95

9.现有3张牌,利用这3张 牌:
(1).从中抽一张牌,在未抽 牌之前分别说出一件有 关抽牌的必然事件,不可 能事件,不确定事件. (2).任意抽一张牌,抽到的 牌数字有几种可能?

10.笼子里关着一 只兔子(如图), 兔子的主人决定把 兔子放归大自然, 将笼子所有的门都 打开。兔子要先经 过第一道(A,B, C),再经过第二 道门(D或E)才 能出去。问兔子走 出笼子的路线(经 过的两道门)有多 少种不同的可能?

A

B

C

D

E

1 本图是两个可以自 6 6 2 由转动的转盘,每个转 5 盘被分成6个相等的扇 4 3 形。利用这两个转盘做 4 2 A 下面的游戏: (1) 甲自由转动转盘A,同时乙自由转动转盘B;

1

3 5

B

(2) 转盘停止后,指针指向几就顺时针走几格,得到一个 数字 (如,在转盘A中, 如果指针指向3, 就按顺时针方向 走3格,得到数字6); (3) 如果最终得到的数字是偶数就得1分,否则不得分; (4) 转动10次转盘,记录每次得分的结果,累计得分高的 人为胜者。 这个游戏对甲、乙双方公平吗? 说说你的理由。

甲得分的情况
1
6 2

5
4

3

转盘A
1 6 5 4 2 3

(1)如果指针指向奇数, 如“3”, 则按顺时针方向走3格, 得到数字6, 所得数字是偶数,得1分; 同理, 当第一次指针指向其它的 奇数 a 时, 指针顺时针方向转动同样的格数 a, 所得结果数应是 2a 或(2a–6)(a≥3), 即所得结果数总是偶数. (2)如果指针指向偶数b, 如6,

指针顺时针方向转动同样的格数 b, 故所得结果数应是 2b 或(2b–6)(b≥4), 所得结果数也是偶数.

总之, 甲每次所得结果数总是偶数.

乙得分的情况
1 6 4 2 3 5

(1)如果指针指向奇数, 如“3”, 则按顺时针方向走3格, 得到数字4, 所得到的数字是偶数,得1分; (2)如果指针指向偶数b, 如4, 指针顺时针方向转动4格, 得到数字5, 所得到数字是奇数,不得分; 因此, 乙每次所得到的数字可能是奇 数,也可能是偶数; 每次得分与不得分 不能确定. 而甲每次指针转动后所得到的数字 总是偶数, 因此, 本转盘游戏对乙不公平.

转盘B
1 6 4 2 3 5

1 6 5 4 2 3 6 4

1

3
5

转盘A

2 转盘B

(1)对于转盘A, “最终得到的数字是偶数”这个事 件 是必然的、不可能的还是不确定的?是必然的 是不可能的; “最终得到的数字是奇数”呢? “最终得到的数字是偶数”这个事件 (2)对于转盘B, 是必然的、不可能的还是不确定的? 是不确定的; 是不确定的; “最终得到的数字是奇数”呢? (3)你能用自己的语言描述必然事件发生的可能性吗?

人们通常

用1(或100%)来表示 必然事件发生的可能性,即概率为1; 用0来表示不可能事件发生的可能性。 即概率为0;

必然事件发生的可能性是100% 即概率为1;
不可能事件发生的可能性是 0; 即概率为0; 不确定事件发生的可能性是大于0而小于1的. 即此时概率为

0 ? P? A? ? 1

可以看到事件发生的可能性 越大概率就越接近1;反之, 事 件发生的可能性越小概率就 越接近0

做一做 甲、乙 两人做如下的游戏: 如图是一个均匀的骰子,它的每个面上分别标 有数字1,2,3,4,5,6。 任意掷出骰子后,若朝上的数字是6,则甲获胜; 若朝上的数字不是6,则乙获胜。

你认为这个游戏 对甲、乙双方公平吗?

用下图表示事件发生的可能性:
“朝上的数字是6”
0
不可能 发生

“朝上的数字不是6”
1 (50%) 2
可能发生

1 (100%)
必然 发生

你能在上图中大致表示 “朝上的数字是6”和 “朝上的数字不是6”的可能性吗 ? 1 “朝上的数字是6” 的可能性在什么范围内? 0 ~ 6 5 “朝上的数字不是6” 的可能性在什么范围内?0 ~ 6

练习1.抛掷一只纸杯的重复试验的结果如下表: 抛掷次数 杯口 频数 朝上 频率 100 20 0.2 150 36 200 50 250 60 0.25 300

0.24 0.25

(1) 在表内的空格初填上适当的数
(2)任意抛掷一只纸杯,杯口朝上的概率为 .

2.明天下雨的概率为95%,那么下列说法错误的 是( )
(A) 明天下雨的可能性较大 (B) 明天不下雨的可能性较小 (C) 明天有可能性是晴天 (D) 明天不可能性是晴天

3.有一种麦种,播种一粒种子,发芽的概率 是98%,成秧的概率为85%.

若要得到10 000株麦苗,则需
要 粒麦种.(精确到1粒)

4.对某服装厂的成品西装进行抽查,结果如下表:

抽检件数
频率 (1)请完成上表

100

200
198

300
294

400
392

正品 频数 97

(2)任抽一件是次品的概率是多少?

(3)如果销售1 500件西服,那么需要准备多少件正品 西装供买到次品西装的顾客调换?

小结
1.随机事件的概念

在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件,叫做随机事件. 2.随机事件的概率的定义 在大量重复进行同一试验时, 事件 A 发 m 生的频率 总是接近于某个常数,在它附近 n 摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概
率.

0 ? P? A? ? 1


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com