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25[1].4圆周角(1)

发布时间:2013-12-16 10:34:52  

25.4

圆周角(1)

1、复习提问: (1)什么是圆心角? (2)圆心角,弧,弦,弦心 距关系定理是什么?

A

O

C

B

圆内接三角形的三个内角与圆有着 特殊的位置关系,请你讲一讲。

∠ACB与 ∠AOB 有何异同点? ∠ACB这一类的角叫什么名字呢?

圆周角的概念 :
顶点在圆上,两边 与圆相交的角,叫圆 周角。

C

B O A

一个角是圆周角的条件: ①顶点在圆上; ②两边都和圆相交。

顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫 做圆周角 . 练习:指出下图中的圆周角.
A

C

O D

E

×
(1)

O

O



×
(3)
O

×

O

(2)

(4)

O

×

B



(5)

F (6)

如图,△ABC是等边三形,∠BAC 与∠BOC的大小有什么关系?
(∠BAC与∠BOC分别是弧BC所对 的圆周角和圆心角)

A

O B C

? ?BAC ? 60?, ?BOC ? 120 ?,
1 ? ?BAC ? ?BOC 2

分别量出图中 AB 所对的圆周角 和圆心角的度数,比较一下,你 有什么发现?



C O

·
B

A

1.如图,在⊙O中,AC为直径, ∠AOB和∠ACB分别是AB 所对的圆心角和圆周角,你认为∠AOB 与∠ACB的大小具 有什么关系?说出你的理由.



∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
C O A

·
B

又 ∠AOB=∠OCB+∠OBC ∴∠AOB=2∠OCB


1 ?C ? ?AOB 2

2.如图,在⊙O中,当 AB 所对的圆心角∠AOB与圆周 角∠ACB具有如图所示的两种位置关系时,它们是否还 具有上述的数量关系?为什么? C O A



C
O B D

·

·
A B

D

(2)圆心在∠BCA的内部. 作直径CD.
C O A
D

由于∠AOD= 2∠ACD
B

·

∠BOD= 2∠BCD, 所以∠AOD+∠BOD=

2(∠ACD+∠BCD)
即∠AOB= 2 ∠ACB

(3)圆心在∠BAC的外部.
作直径CD.
C
O D

由于∠BOD= 2∠BCD ∠AOD= 2∠ACD,
所以∠BOD-∠AOD= 2(∠BCD-∠ACD) 即∠AOB= 2∠ACB

·
B

A

结论:圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半. 如图:则有
1 ∠ACB= 2 ?AOB ;

1 ∠ADB= ?AOB ; 2

∠ ACB =∠ ADB .

⌒ 1.在一个圆中,并画出AB所对的圆周角能
画多少个?它们有什么关系? 2.在同圆和等圆中,如果两个弧 相等,它们所对的圆周角一定 相等吗?为什么?反过来呢?
C D A

推论1: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等;相等的圆周角 所对的弧也相等.

O

·
B

E

探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图, △ABC内接 于⊙O, 请思考当∠AOB 为180°时, ∠ACB的度 数是多少?从而你得到什 么结论?
C

A

O

·

B

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直 角; 90°的圆周角所对的弦是直径.

证明:因为OA=OB=OC, ∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形 ∠OAC=∠OCA, ∠OBC=∠OCB 又 ∠OAC+∠OBC+∠ACB= 180° 图 23.1.9
180 ? ∠ACB=∠OCA+∠OCB= 2 =90°

因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、B) ∠ACB总等于90°

例1.如图,

AB是O的直径,弦CD交AB于点 P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB=∠ACB-∠ACD= 90°-60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, D ∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°= 100°. A
.O

C B

P

例2.如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.
解:∵AB是直径,
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中, C

BC ?

AB ? AC ? 10 ? 6 ? 8
2 2 2 2

A

O

·
D

B

∵CD平分∠ACB,
∴⌒ ⌒ AD=BD.

∴AD=BD.
又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ?10 ? 5 2(cm) 2 2

3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE A 证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, . O E ∴∠ADB=90°, C D B ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, ∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
∴ BD= DE ⌒ ⌒

(同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧相等)

4.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个
三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.)

求证: △ABC 为直角三角形.

1 已知:△ABC ,CO为AB边上的中线,且CO= AB 2
证明: 以AB为直径作⊙O,
1 ∵AO=BO, CO= AB, 2
A · O C

B

∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,

1 ∴∠ACB= 2 ×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.

内容小结:
(1)一个概念(圆周角) (2)一个定理:一条弧所对的圆周角等于

它所对圆心角的一半.
(3)二个推论: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等;相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆或直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.

作业:课后习题1,2,3,4

知识像一艘船,让它载 着我们驶向理想的彼岸……
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