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鲁教版五四制数学8年级下册同步知识详解精练

发布时间:2013-12-16 13:34:31  

第六章 证明(二)

单元目标

1.了解全等形,全等三角形的概念和性质,逆命题和逆定理的概念,理解三角形,三角形的顶点,边,内角,外角,角平分线,中线和高线,线段中垂线等概念。

2.理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质,掌握三角形的内角和定理,三角形的外角等于不相邻的两内角的和;三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质;

3.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论,并能应用他们进行简单的证明和计算。

4.学会演绎推理的方法,提高逻辑推理能力和逻辑表达能力,掌握寓丁几何证明中的分析,综合,转化等数学思想。

5.理解并掌握等腰(或等边)三角形的重要性质和判定方法.

6.理解并掌握线段的垂直平分线性质及判定.

7.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念,灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形,提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力; 8. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义,会用尺规作一个角的平分线;

9. 掌握角平分线的性质和判定;

10. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

第一节 全等三角形

要点精讲

一、定义

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况)

当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。

由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;

(3)有公共边的,公共边一定是对应边;

(4)有公共角的,角一定是对应角;

(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;

二、表示

全等用“≌”表示,读作“全等于”。如:△ABC全等于△DEF,写作:△ABC≌△DEF 注意:若△ABC≌△DEF,点A的对应点是点D,点B的对应点是点E,点C的对应点是点F

三、判定公理

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

由3可推到

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”)

所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。

H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。

6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。

性质

四、三角形全等的条件:

1、全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的对应边相等

3、全等三角形的对应顶点相等。

4、全等三角形的对应边上的高对应相等。

5、全等三角形的对应角平分线相等。

6、全等三角形的对应中线相等。

7、全等三角形面积相等。

8、全等三角形周长相等。

9、全等三角形可以完全重合。

五、三角形全等的方法:

1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)

2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 典型例题

【例1】如图,

,写出其对应顶点、对应边、对应角.

【答案】对应顶点:A与A,B与D,C与E

对应边:AB与AD,BC与DE,AC与AE

对应角:

【解析】找对应元素,有一简便方法:先结合图形判断已知条件中的“

是否按照对应顶点的顺序写的,如果确认顺序正确,则可以按照以下顺序: ≌

写出它们的对应边:AB与AD,BC与DE,AC与AE,类似地,可以写出它们的对应顶点、对应角.

【例2】如图,已知

,且

在同一直线上,(1)

相等吗?试说明理由;(2)如果

,求

的度数.

:(1)

因为

,所以

,

所以

(2)

因为

,所以,

所以

,所以

所以

:(1)因为

所以

. 【答案】【解析】

(2)因为

又因为

所以

所以

针对训练 .

1.下列各题的全等三角形经过怎样的运动后能完全重合?

(1)

;(2)

;(3)

2.如图,

,求证:

3.如图,

全等,你能找出其中相等的线段和相等的角吗?

A

B D E C

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