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鲁教版五四制数学9年级上册同步知识详解精练

发布时间:2013-12-16 13:34:35  

第四章 圆

学习目标

1.认识圆,能举例说出周围的物体中是圆形的物体.

2.理解圆心、半径、直径的含义,知道在同一个圆里,所有的半径都相等,所有的直径也都相等.直径等于半径的2倍,会用圆规按已知的半径或直径画圆.

3.能运用圆的切线的判定和性质解决问题

4.掌握两圆位置与两圆半径、圆心距之间的关系.会用两圆半径和圆心距之间的数量关系来判断两圆的位置关系.

5.理解圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆的对称轴.

第一节 圆

要点精讲

一、圆有两种定义方式:

1.在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.

2.圆是所有点到定点O的距离等于定长r的点的集合.

注意:定义(1)是描述性定义,定义(2)揭示了圆的本质,一方面说明圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r的长),另一方面说明到定点的距离等于定长的点都在圆上.确定一个圆有2个元素,一个是圆心,一个是半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.

二、和圆相关的概念

1.弦:连结圆上任意两点的线段;(弦不一定是直径,直径一定是弦,直径是圆中最长的弦)

2.直径:经过圆心的弦;

3.弧:圆上任意两点间的部分;(弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数,等于这条弧所对圆周角的两倍)

4.半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆;

5.优弧:大于半圆的弧,用三个大写字母表示;

6.劣弧:小于半圆的弧,用两个大写字母表示;

7.弓形由弦及其所对的弧组成的图形;

8.等圆:能够重合的两个圆;

9.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧;

10.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆;

11.圆心角:定点是圆心的角;

12.圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角;

13.弦心距:圆心到弦的距离.

注意:(1)直径等于半径的2倍;

(2)同圆或等圆的半径相等;

(3)等弧必须是同圆或等圆中的弧;

(4)弧长相等的弧不一定是等弧,但等弧的弧长必相等.

相关链接

圆形面积圆的半径:r 圆形车轮

直径:d

圆周率:π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数),通常采用3.14作为π的值

圆面积:S=πr2; S=π(d/2)2

半圆的面积:S半圆=(πr2)/2

圆环面积: S大圆-S小圆=π(R2-r2) (R为大圆半径,r为小圆半径)

圆的周长:C=2πr或c=πd

半圆的周长:d+(πd)/2或者d+πr

典型分析

1.如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连接AC、BC.若∠ABC=54°,则∠1的大小为( )

A.36°

B.54°

C.72°

D.73°

【答案】C

【解析】∵l1∥l2,∠ABC=54°,

∴∠2=∠ABC=54°,∵以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,∴AC=AB,∴∠ACB=∠ABC=54°,∵∠1+∠ACB+∠2=180°,∴∠1=72°.

故选C.

中考案例

1.(2012天津)已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3 cm和4 cm,若O1O2=7 cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是( )

A. 相交

B. 相离

C. 内切

D. 外切

【答案】D.

【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距O1O2=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.

针对训练

1. 如图是公园的路线图,⊙O1,⊙O2,⊙O两两相切,点A,B,O分别是切点,甲乙二人骑自行车,同时从点A出发,以相同的速度,甲按照“圆”形线行驶,乙行驶“8字型”线路行驶.若不考虑其他因素,结果先回到出发点的人是( )

A.甲

B.乙

C.甲乙同时

D.无法判定

2. 在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍,现将铁丝箍半径增大1米,需增加m米长的铁丝,假设地球的赤道上也有一个铁箍,同样半径增大1米,需增加n米长的铁丝,则m与n的大小关系是( )

A.m>n

B.m<n

C.m=n

D.不能确定

3. 中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题:圆的半径增加了一倍,那么圆的面积增加了( )

A.一倍

B.二倍

C.三倍

D.四倍

4. 圆的半径为13cm,两弦:AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则两弦AB、CD的距离是( )

A.7cm

B.17cm

C.12cm

D.7cm或17cm

5. 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶,车轮绕着轴心转动的转速为100转/分,则自行车的行驶速度( )

A.3.6π千米/小时

B.1.8π千米/小时

C.30千米/小时

D.15千米/小时

6. 下列说法中,正确的有 ( )

①两边及一内角相等的两个三角形全等

②角是轴对称图形,对称轴是这个角的平分线;

③在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等;

④无理数就是无限小数.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

7. 下列命题是真命题的是( )

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.平移不改变图形的形状和大小

C.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

D.相等的弦所对的弧相等

8. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=36°,则∠A的度数为( )

A.36°

B.56°

C.72°

D.144°

参考答案

1.【答案】C

【解析】设⊙O1的半径是r,则⊙O2的半径是r,⊙O的半径是2r.则延“8字型”线路行驶时:路线长是4πr.同样按“圆”形线行驶的路线长4πr.因而两人同时到达.

故选C.

2.【答案】C

【解析】因为增加的周长等于半径增加1米后的周长减去原来的周长,根据圆周长公式,提取2π后,前后半径的差都是1米,所以m=n.

故选C.

3.【答案】C

【解析】设圆的原来的半径是R,增加1倍,半径即是2R,则增加的面积是4πR2-πR2=3πR2,即增加了3倍.

故选C.

4.【答案】D

【解析】第一种情况:两弦在圆心的一侧时,已知CD=10cm,∴DE=5.∵OD=13,∴利用勾股定理可得:OE=12.同理可求OF=5, ∴

EF=7.

第二种情况:只是EF=OE+OF=17.其它和第一种一样.

故选D.

5.【答案】A

【解析】∵车轮半径为0.3m,∴周长是0.6πm,∴车轮绕着轴心转动100转,则经过的路程是100×0.6π=60πm,∴自行车行驶的速度是60πm/分=3.6π千米/小时.

故选A.

6.【答案】A

【解析】①因为SSA不能判定三角形全等,故本项错误;②角是轴对称图形,对称轴是这个角的平分线所在的直线,故本项错误;③在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等,故本项正确;④无限不循环小数是无理数.此说法遗漏了不循环这个条件,故本项错误. 故选A.

7.【答案】B

【解析】A.错误,对角线相等且互相垂直的四边形可以是筝形;B.正确;C、错误,应为:对角线互相垂直且相等的梯形才是等腰梯形;D.错误,没有强调是同圆或等圆中.故选B.

8.【答案】D

【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠A+∠C=180°,而∠C=36°,∴∠A=180°-36°=144°. 故选D.

扩展知识

圆形,是一个看来简单,实际上是十分奇妙的形状.古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆.到了陶器时代,许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤.古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲.后来他们在搬运重物的时候,就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多.

约在6000年前,美索不达米亚人,做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘.大约在4000多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最初的车子.

会作圆,但不一定就懂得圆的性质.古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形.一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义:圆,一中同长也.意思是说:圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年.

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示.它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……

但在实际运用中一般只取它的近似值,

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