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2013年西城区初三数学期末考试题及答案(南区)

发布时间:2013-12-16 14:44:19  

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷(南区)

九年级数学 2013.1

一、选择题(本题共32分,每小题4分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. ..1.二次函数y?(x?1)2?2的最小值是

A.?1 B.1 C.?2 D.2 2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,则∠AOC的度数为 A.20° B.40° C.60° D.80° 3.两圆的半径分别为2和3,若圆心距为5,则这两圆的位置关系是 A.相交

B.外离 C.外切 D.内切

4.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若OA?20cm,OA??50cm,则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A.5∶2 C.4∶25

B.2∶5 D.25∶4

5.如图,正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为O,EF与GH是此 外接圆的直径,EF=4,AD⊥GH,EF⊥GH,则图中阴影部分的面积是 E A.π C.3π

B.2π D.4π

6.袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子,其中有两枚是红色的,一枚是绿色的.从中随机同时摸出两枚,则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是新 课 标第 一 网

1112

A. B. C. D.

3423

4

7.如图,直线y??x?4与x轴、y轴分别交于A、B两点,

3

△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO?B?,则点B的对应 点B?的坐标为 A.(3,4) B.(7,4) C.(7,3) D.(3,7)

8.如图,△ABC中,∠B=60°,∠ACB=75°,点D是BC边上一个动点,以AD为直径作⊙O,分别交AB、AC于点E、F,若弦EF长度的最小值为1,则AB的长为

2

A. 22 B.

6

C. 1.5

D.

3

二、填空题(本题共16分,每小题4分)

9.扇形的半径为9,且圆心角为120°,则它的弧长为_______.

210.已知抛物线y?x?x?3经过点A(2,y1)、B(3,y2),则y1与y2的大小关系是

_______.

11.如图,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,且OP=2,

∠APB=60°.若点C在⊙O上,且AC

,则圆周角

∠CAB的度数为_______.

12.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于(1,0)和(x1,0),其中?2?x1??1,与y

轴交于正半轴上一点.下列结论:①b?0;②ac?

中所有正确结论的序号是_______.

三、解答题(本题共30分,每小题5分)

13

60?4cos30+sin45?tan60.

214.已知抛物线y?x?4x?1.

(1)用配方法将y?x?4x?1化成y?a(x?h)?k的形式;

(2)将此抛物线向右平移1个单位,再向上平移2个单位,求平移后所得抛物线的解析

式.

15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC边上.若DB=6,

AD=212③a?b;④?a?c??2a.其b;4?2???212CD,sin∠CBD=,求AD的长和tanA的值. 23

16.如图,AB是⊙O 的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB

于点E.

(1)求证:∠BCO=∠D;

(2)若CD

=AE=2,求⊙O的半径.

17.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,点P为AC边中点,

点M是BC边上一点.将△CPM沿直线MP翻折,交AB于点E,

点C落在点D处,∠BME=120°.

(1)求∠CMP的度数;(2)求BM的长.

CPBMDA

18.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的

A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上

的B处.

(1)B处距离灯塔P有多远?

(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里

的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁

区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险,并说明理由.

四、解答题(本题共20分,每小题5分)

19.已知抛物线y?x2?2x?3.

(1)它与x轴的交点的坐标为_______;

(2)在坐标系中利用描点法画出它的图象;

(3)将该抛物线在x轴下方的部分(不包含与x轴的交点)记为G,若直线y?x?b与G

只有一个公共点,则b的取值范围是_______.

20.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C

与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,

若MN · MC=8,求⊙O的直径.

21.平面直角坐标系xOy中,原点O是正三角形ABC外接圆的圆心,点

A在

y轴的正半轴上,△ABC的边长为6.以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转?角,得到△A?B?C?,点A?、B?、C?分别为点A、B、C的对应点.

(1)当?=60°时,

①请在图1中画出△A?B?C?;

②若AB分别与A?C?、A?B?交于点D、E,则DE的长为_______;

(2)如图2,当A?C?⊥AB时,A?B?分别与AB、BC交于点F、G,则点A?的坐标为

_______,△FBG的周长为_______,△ABC与△A?B?C?重叠部分的面积为 _______.

22.阅读下面的材料:

小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数y?x2?6x?7的最大值.他画图研究后发现,x?1和x?5时的函数值相等,于是他认为需要对m进行分类讨论.

他的解答过程如下:

∵二次函数y?x2?6x?7的对称轴为直线x?3,

∴由对称性可知,x?1和x?5时的函数值相等.

∴若1≤m<5,则x?1时,y的最大值为2;

若m≥5,则x?m时,y的最大值为m2?6m?7.

请你参考小明的思路,解答下列问题:

(1)当?2≤x≤4时,二次函数y?2x2?4x?1的最大值为_______;

(2)若p≤x≤2,求二次函数y?2x2?4x?1的最大值;

(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y?2x2?4x?1的最大值为31,则t的值为_______.

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)

23.已知抛物线y1?x?2(1?m)x?n经过点(?1,3m?

(1)求n?m的值;

(2)若此抛物线的顶点为(p,q),用含m的式子分别表示p和q,并求q与p之间

的函数关系式;

(3)若一次函数y2??2mx?

取值范围. 21). 21,且对于任意的实数x,都有y1≥2y2,直接写出m的8

24.以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中

∠ABO=∠DCO=30°.

(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.

①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,FM=_______; EM

②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转?角(0????60?),其 他条件不变,判断FM的值是否发生变化,并对你的结论进行证明; EM

(2)如图3,若BO

=,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个

动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.w W w.xK b 1. c om

12x?bx?c与x轴交于A、B两点,点2

C是AB的中点,CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行,点F是射线BE上的一个动点,25.如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y?连接AD、AF、DF.

(1)若点F的坐标为(9,1),AF

2

①求此抛物线的解析式;

②点P是此抛物线上一个动点,点Q在此抛物线的对称轴上,以点A、F、P、Q

为顶点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点Q的坐标;

(2)若2b?c??2,b??2?t,且AB的长为kt,其中t?0.如图2,当∠DAF=45°

时,求k的值和∠DFA的正切值.

北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷(南区)

九年级数学参考答案及评分标准 2013.1

阅卷说明:第11题写对一个答案得2分.第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分. 三、解答题(本题共30分,每小题5分)

2

13.解:原式?4? ................................................................. 4分

?? ?3. ........................................................................................................ 5分 14.解:(1)y?x?4x?1 ?(x?4x?4)?3

?(x?2)?3 ........................................................................................... 2分 (2)∵抛物线y?x?4x?1的顶点坐标为(2,?3), .................................... 3分

∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,?1). .................................................. 4分

∴平移后所得抛物线的解析式为y

?(

x?3)?1?x?6x?8. . ............ 5分 15.解:如图1.新|课 |标| 第|一|网

2

2

2222

2

在Rt△DBC中,∠C=90°,sin∠CBD=,DB=6,

3

∴CD?DB?sin?CBD?6?

2?4. ………… 1分

3∴ AD=

A

C

11

CD=?4?2. ……………………2分 22

B

图1

∵CB?? .............................................................. 3分 AC= AD+CD=2+4=6, ......................................................................................... 4分 在Rt△ABC中,∠C=90°,

∴tanA=CB? ...................................................................................... 5分 AC16.(1)证明:如图2. ∵OC=OB,

∴∠BCO=∠B. …………………………………1分 ∵∠B=∠D,

∴∠BCO=∠D. ………………………………2分 (2)解:∵AB是⊙O 的直径,且CD⊥AB于点E,

图2

∴CE=

11

CD

=?? ………… 3分 22

在Rt△OCE中,OC2?CE2?OE2,

设⊙O的半径为r,则OC=r,OE=OA?AE=r?2,

∴r2?2?(r?2)2. ………………… 4分 解得r?3.

∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分 17.解:如图3.新|课 |标| 第|一 |网

(1)∵将△CPM沿直线MP翻折后得到△DPM,

∴∠CMP=∠DMP . ............................................ 1分 ∵∠BME=120°,

∴∠CMP=30°. .................................................... 2分

(2)∵AC=6,点P为AC边中点,

∴CP=3. ................................................................. 3分 在Rt△CMP中,CP=3,∠MCP=90°,∠CMP=30°, ∴CM=3. .......................................................... 4分

∴BM=6?33. .................................................................................................... 5分 18.解:(1)作PC⊥AB于C.(如图4)

在Rt△PAC中,∠PCA=90°,∠CPA=90°=45°. ?45°

∴PC?PA?cos45??100? ................... 2分

在Rt△PCB中,∠PCB=90°,∠PBC=30°.

∴PB?2PC?

答:B处距离灯塔P

有. ....................... 3分

(2)海轮若到达B处没有触礁的危险. .......................... 4分

理由如下:

∵OB?OP?PB?200?

而150,

∴200?200?150.

∴OB?50. .................................................................................................... 5分 ∴B处在圆形暗礁区域外,没有触礁的危险.

19 图4

B

M

D

C

PA

图3

图象(如图5);………………… 3分

(3)b的取值范围是?3?b?1或b??21. .......................................................... 5分

4

阅卷说明:只写?3?b?1或只写b??21得1分.

4

20.(1)证明:∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO .

∴∠COB=2∠ACO .w W w.x K b 1. c om 又∵∠COB=2∠PCB,

∴∠ACO=∠PCB . ....................................................................................... 1分 ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACO +∠OCB=90° .

∴∠PCB +∠OCB=90°, 即OC⊥CP. ∵OC是⊙O的半径,

∴PC是⊙O的切线. ................................................................................. 2分

(2)解:连接MA、MB.(如图6) ∵点M是弧AB的中点,

∴∠ACM=∠BAM. ∵∠AMC=∠AMN,

∴△AMC∽△NMA . …………………… 3分

AMMC

∴. ?

NMMA

∴AM?MC?MN.

∵MC·MN=8,

∴AM? .............................................................................................. 4分

∵AB是⊙O的直径,点M是弧AB的中点, ∴∠AMB=90°,AM=

BM=

∴AB?

2

图6

?4. ....................................................................... 5分

21.解:(1)①如图7所示; .................................................. 1

②DE的长为2; ................................................ 2(2)点A?

的坐标为(,△FBG的周长为 6 △ABC与△A?B?C?重叠部分的面积为27? .......................... 5 阅卷说明:第(2)问每空1分.

22.解:(1)当?2≤x≤4时,二次函数y?2x2?4x?1 ................ 12

(2)∵二次函数y?2x?4x?1的对称轴为直线x ∴由对称性可知,x??4和x?2时函数值相等.

∴若?4?p?2,则x?2时,y的最大值为17. ................................... 2分 若p??4,则x?p时,y的最大值为2p?4p?1. ......................... 3分

2

(3)t的值为 .............................................................................................. 5分 阅卷说明:只写1或只写-5得1分;有错解得0分.

五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)

23.解:(1)∵抛物线y1?x?2(1?m)x?n经过点(?1,3m?

∴3m?1?(?1)2?2(1?m)?(?1)?n.新 课 标 第 一 网 2

∴n?m?3. ................................................................................................ 1分 21), 2

24.解:(

22)∵y1?x2?2(1?m)x?m?32, ∴p?m?1, ................................................................................................ 2分 q??m2?3m?12. .................................................................................. 3分 ∵p?m?1, ∴m?p?1. ∴q??(p?1)2?3(p?1)?12. ∴q??p2?p?52. ........................................................................................ 5分 3)m的取值范围是?32?m?12且m?0. ........................................................ 7分 阅卷说明:只写?3?m?122或只写m?0得1分. 1)①FMEM

?2; .......................................................... ………………………1分 ②结论:FMEM的值不变.(阅卷说明:判断结论不设给分点) 证明:连接EF、AD、BC.(如图8) ∵Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO

=30°, A ∴AOBO?tan30?? ∵Rt△COD中,∠COD=90°,∠DCO=30°, B ∴DO?tan30??CO ∴AOC36BO?DOCO?图8 又∵∠AOD=90°+∠BOD,∠BOC=90°+∠BOD, ∴∠AOD=∠BOC.

∴△AOD∽△BOC. .................................................................................... 2分

∴AD

BC1=∠2. ( (

25.解:( ∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,

∴EF∥AD,FM∥CB,且EF?12AD,FM?12

CB.

∴EFFM? ............................................................................................ 3分

∠3=∠ADC=∠1+∠6,∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°,

∴∠1+∠4+∠6=90°,即∠3+∠4=90°.

∴∠EFM=90°. ............................................................................................. 4分 ∵在Rt△EFM中,∠EFM=90°

,tan?EMF?EFFM?

∴∠EMF=30°.

∴FMEM?cos?EMF ......................................................................... 5分

2)线段PN

2,最大值为2. .......................... 7分

阅卷说明:第(2)问每空1分.

1)①∵直线BE与y轴平行,点F的坐标为(9

2

,1), ∴点B的坐标为(

9

2

,0),∠FBA=90°,BF=1. 在Rt△ABF中,AF

新课 标 第一网

∴AB?4. ∴点A的坐标为(

1

2

,0). ∴抛物线的解析式为y?12(x?12)(x?92)?12x2?52x?98

. ................. 1分

②点Q的坐标为Q1(

52,3),Q552(2,5),Q3(2

,7). ........... 4分 阅卷说明:答对1个得1分. 2)∵2b?c??2,b??2?t, ∴c?2t?2. ∴y?12

x2

?(2?t)x?2t?2. 由

12

x2

?(2?t)x?2t?2?0, (x?2)(x?2t?2)?0. 解得 x1?2,x2?2t?2. ∵t?0,

∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(2t?2,0).

∴AB=2t?2?2?2t,即 k?2. ............................................................... 5分 ( (

方法一:过点D作DG∥x轴交BE于点G,AH∥BE交直线DG于点H,延 长DH至点M,使HM=BF,连接AM.(如图9)

∵DG∥x轴,AH∥BE,

∴四边形ABGH是平行四边形. ∵∠ABF=90°, ∴四边形ABGH是矩形. 同理四边形CBGD是矩形. ∴AH=GB=CD=AB=GH=2t. ∵∠HAB=90°,∠DAF=45°, ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB和△AMH中,

AB=AH,

∠ABF=∠AHM=90°,

BF=HM,

∴△AFB≌△AMH. ..................................................................................... 6分 ∴∠

1=∠3,AF=AM,∠4=∠M. ∴∠3+∠2=45°.

在△AFD和△AMD中, AF=AM, ∠FAD=∠MAD, AD=AD, ∴△AFD≌△AMD.

∴∠DFA=∠M,FD=MD.

∴∠DFA=∠4. ……………………………………………………………7分

∵C是AB的中点, ∴DG=CB=HD=t.

设BF=x,则GF=2t?x,FD=MD=t?x. 在Rt△DGF中,DF2?DG2?GF2, ∴(t?x)2?t2?(2t?x)2,解得 x?2t.

3 ∴tan?DFA?tan?4?AB?2t?2t?3.…8FB3 方法二:过点D作DM⊥AF于M.(如图10) ∵CD⊥AB,DM⊥AF, ∴∠NCA=∠DMN=90°. ∵∠1=∠2, ∴∠NAC=∠NDM. ∴tan∠NAC=tan∠NDM.

∴NC?NM. ……………………………6分 ACDM

∵C是AB的中点,CD=AB=2t,

∴AC=t

,AD???.

∵∠DAM=45°,

∴DM?AM?AD?sin45???. 设 CN=x,则DN=2t?x.

∴x?.

t∴NM?x. 在Rt△DNM中,DN2?DM2?NM2,

∴(2t?x)2?)2?)2. 3x2?8tx?3t2?0.

(3x?t)(x?3t)?0. ∴x1?t,x2??3t(舍). 3

∴CN=t, …………………………………………………………………7分 3

. AN

∵EB∥y轴,

∴EB⊥x轴.

∵CD⊥AB,

∴CD∥EB. ∴AC?AN?1. ABAF2

∴AF

. ∴MF= AF?AM

?.

?∴tan?DFA?DM????3. ………………………………8分 ?MF??

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