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2014届中考复习《2.3一元二次方程》课件

发布时间:2013-12-16 14:44:22  

专题二 方程与不等式

§2.3 一元二次方程

考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中, 只含有 一 个未知 数, 并且含未知数项的最高次数 是 2 , 这样的整式方程叫一元二次 方程,一元二次方程的标准形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 是 .

练习 1、判断下面哪些方程是一元二次方程 2 2 (1)x -3x+4=x -7 (×)
(2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - ? 2 ? 0
2 1 x 2 2

(√ ) ( ×) (×) (√ ) (×)

(5) x ? 1 ? 3
2

(6) ? y ? 0
y 4 2

化为一般 2x2-3x-1=0 其二次项系数 形式是:___________, 是____,一次项系数是____,常数项是 2 -3 ____. -1 3、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程,则 (C ) A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠ ±2
2 2、把方程(1-x)(2-x)=3-x

考点二 一元二次方程的常用解法 1.直接开平方法:如果 x2=a(a≥0),则 x=± a, 则 x1= a,x2=- a. 2.配方法:如果 x2+px+q=0 且 p2-4q≥0, ?x+p?2=-q+?p?2. 则 2? ? ?2? p ?p?2,x =-p- ?p?2. x1=- + -q+ 2 -q+ 2 2 2 2 ? ? ? ? 2 2 3.公式法:方程 ax +bx+c=0 且 b -4ac≥0, -b± b2-4ac 则 x= . 2a 4.因式分解法:若 x2+bx+c=(x+m)(x+n), 则 x2+bx+c=0 的根为 x1=-m,x2=-n.

考点三 根与系数的关系 2 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根 2 的判别式为 b -4ac. 2 2 1.b -4ac>0?一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)有两个不相等的实数根, -b± b2-4ac 则 x1,2= ; 2a 2 2 2.b -4ac=0?一元二次方程 ax +bx+c=0 b (a≠0)有两个相等的实数根,即 x1=x2=- ; 2a 3.b2-4ac<0?一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)没有实数根;

一元二次方程根与系数的关系: (1)当二次项系数为1的时候关于x的方 程x2+px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则:x1+x2=-p, x1x2=q (2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 两 根为x1, x2,则,
b c x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a

考点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤

和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样,即审、设、列、解、验、 答六步.

例:解下列方程
? 1、用直接开平方法: (x+2)2=9

解:两边开平方, 得: x+2= ±3

右边开平方 后,根号前 取“±”。

∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5

例:解下列方程
?2、用配方法解方程

4x2-8x-5=0

两边加上相等项“1”。

3、用公式法解方程 3x2=4x+7

先变为一 般形式, 代入时注 2-4x-7=0 意符号。 解:移项,得: 3x

a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100>0
4 ? 100 2 ? 5 x? ? ∴ 6 3
7 ∴x1= 3

x2 = -1

4、用分解因式法解方程:把y+2看作一个 (y+2)2=3(y+2) 未知数,变成 解:原方程化为 (y+2) 2- 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(ax+b)(cx+d)=0 形式。

步骤归纳 ① 同除二次项系数化为1

; ②移常数项到右边; ③两边加上一次项系数一半的平方; ④化直接开平方形式; ⑤解方程。

步骤归纳
① 先化为一般形式; ②再确定a、b、c,求b2-4ac; ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
- b± b - 4ac x = 2a
2

若b2-4ac<0,方程没有实数根。

步骤归纳

①右边化为0,左边化成两个因式 的积; ②分别令两个因式为0,求解。

我来做一做

中考直击

1. (2013?珠海)已知一元二次方程: ①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0.下列说法 正确的是( B ) A. ①②都有实数解 B. ①无实数解,②有实数解 C. ①有实数解,②无实数解 D. ①②都无实数解

2. (2013?湛江)由于受H7N9禽流感的影 响,今年4月份鸡的价格两次大幅下降.

由原来每斤12元连续两次降价a%后售
价下调到每斤5元, 下列所列方程中正

确的是( B ) A. 12(1+a%)2=5 B. 12(1-a%)2=5
C. 12(1-2a%)=5 D. 12(1-a2%)=5

3. (2013?自贡)已知关于x的方程 x2-(a+b)x+ab-1=0, x1、x2是此方程的两

个实数根,现给出三个结论:
①x1≠x2; ②x1x2<ab; ③x12+x22<a2+b2. ①② 则正确结论的序号是____________.(填

上你认为正确结论的所有序号)

4. (2013?黔西南州)已知x=1是一元二 次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数

式a2+b2+2ab的值是_______________ . 1
5.(2013?平凉)现定义运算“★”,对

于任意实数a、b,都有a★b=a2-3a+b,
如:3★5=32-3×3+5,若x★2=6,则 -1或4 实数x的值是___________ .

6.(2013?眉山)已知关于x的一元二次方程
x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β,则 (α+3)(β+3)=_________ . 9 7.(2013?巴中)方程x2-9x+18=0的两个根是

等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角
形的周长为_______________. 15

8.(2013?孝感)已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1, x2.

(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1?x2?x12?x22≥0成 立?若存在, 请求出k的值; 若不存在, 请 说明理由.

解: (1)∵原方程有两个实数根, ∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0, ∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0 ∴1-4k≥0, ∴k≤1/4. ∴当k≤1/4时, 原方程有两个实数根. (2)假设存在实数k使得x1?x2?x12?x22≥0成立. ∵x1, x2是原方程的两根, ∴x1+x2=2k+1, x1?x2=k2+2k. 由x1?x2?x12?x22≥0,得 3x1?x2?(x1+x2)2≥0. ∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0, 整理得: -(k-1)2≥0, ∴只有当k=1时, 上式才能成立. 又∵由(1)知k≤1/4, ∴不存在实数k使得x1?x2?x12?x22≥0成立.

完成课堂达标测试 1. (2013?遵义)已知x=-2是方程x2+mx-6 =0 的一个根,则方程的另一个根是 3 .
2. (2013?镇江)写一个你喜欢的实数m的 0 值 ,使关于x的一元二次方程 m<1/4 x2-x+m=0有两个不相等的实数根.

3. (09湖北十堰市)方程(x+2)(x-1)=0 的解为 x1=-2 ,x2=1 .

4. (2013?张家界)若关于x的一元二次方程 kx2+4x+3=0有实数根,则k的非

负整数 1 值是_______ .

5.(2013?温州) 方程x2-2x-1=0的解是 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 __________________________.
6.(2012?日照)已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根,那么 x2/x1+ x1/x2的值 -65/8 为_____________.

7. (2011?黔西南州)已知一元二次方 程x2-2x-2010=0的两根分别是x1和x2, -2011 则 (1-x1)(1-x2)= _________.
8. (2013?六盘水)无论x取任何实数, 代数式
x ? 6 x ? m 都有意义,则m m≥9 的取值范围为____________.
2

9. (2011?宿迁)如图, 邻边不等的矩形花圃 ABCD, 它的一边AD利用已有的围墙, 另 外三边所围的栅栏的总长度是6m. 若矩 1 形的面积为4m2, 则AB的长度是______m (可利用的围墙长度超过6m).

10.(2013?荆门)设x1,x2是方程x2-x-2013=0的 2014 两实数根,则 x13+2014 x 2?2013=_________.
解:∵x2-x-2013=0, ∴x2=x+2013,x=x2-2013, 又∵x1,x2是方程x2-x-2013=0的两实数根, ∴x1+x2=1, ∴x13+2014x2?2013= x1?x12+2013x2+x2-2013, =x1?(x1+2013)+2013x2+x2-2013, = (x1+2013)+2013x1+2013x2+x2-2013, =x1+x2+2013(x1+x2)+2013-2013, =1+2013,=2014, 故答案是:2014.

11. (2013?乐山)已知关于x的一元二次方 程x2-(2k+1)x+k2+k=0.

(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB, AC的长是这个方

程的两个实数根.第三边BC的长为5, 当
△ABC是等腰三角形时, 求k的值.

(1)证明:∵△=(2k+1)2-4(k2+k)=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)解:一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 的解为 x ? 2k ? 1 ? 1 , 2 即x1=k,x2=k+1, 当AB=k, AC=k+1, 且AB=BC时, △ABC 是等腰三角形, 则k=5; 当AB=k, AC=k+1, 且AC=BC时, △ABC 是等腰三角形,则k+1=5,解得k=4, 所以k的值为5或4.


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