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第一讲 平方根

发布时间:2013-12-16 15:36:36  

第一讲 平方根

【知识要点】

1、平方根

一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2?a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)。

①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;

②0只有一个平方根是0;

③负数没有平方根。

2、算术平方根

特别地,我们规定0的算术平方根是0,即0?0。

3、开平方

求一个数a的平方根的运算叫做开平方,其中a叫做被开方数,a必须为非负数,即a有意义的条件是a≥0。

4、开平方与平方的关系:互为逆运算。

5、a(a≥0)的非负性,即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

?a?a?0?6、形如a2?a?? ???aa?0?

【典型例题】

例1-1、求下列各数的算术平方根和平方根。 ①915; ②64; ④0.09; ⑤1; ⑥0。 2549

例1-2、求下列各数的算术平方根和平方根: ①

例2、填空:

(1)3; (2)

(3)?10); (4)

(5)对于任意数x,x; 22562; ②3 ③0.0036; ④3; ⑤; 362521???2 21?2;

1

例3、求适合下列各式中未知数的值:

(1)25x2?64?0?x?0? (2)?x?1?2?49

(3)?100?x?2?2????5?2 (4)2x?4

例4、已知y?x?5?5?x?3;求x+y的值。

例5、已知x?3?y???z?2?2?0,求xyz的值。

例6、x为何值时,?x?x有意义。

例7、已知2a?1的平方根是?3,3a?b?1的平方根是?4,求a?2b的平方根。

2

例8、小明家最近刚购买一套新房,他要在客厅铺花岗岩地面,客厅面积为32m2,他要用50块正方形的花岗岩。请你帮助小明计算一下,他在购买多少米的花岗岩地砖?

【随堂练习】

一、选择题:

1.一个数的平方根是它本身,那么这个数是( )。

A.0 B.1 C.±1 D.0或1

2.下列语句正确的是( )。

A.4的平方根是2 B.0没有算术平方根

C.-1的算术平方根是-1 D.3有两个平方根

3.表示( )。

A.5的平方根 B.5的算术平方根

C.5的负的平方根 D.5开平方

4.9的平方根是±3,用数学符号表示为( )。

A.9?3 B.9?3 C.??3 D.9??3

5.以下各数没有平方根的是( )。

22

A.?2

?1?

??6? B.???1?

?? C.?

?6??1?

??6?? D.1

6

6.下列说法正确的是( )。

A.4的平方根是±2 B.?a2一定没有平方根

C.0.9的平方根是±0.3 D.a2?1一定有平方根

二、填空题:

1.49的算术平方根是 ,平方根是 。

2. 有两个平方根, 的平方根有且只有一个, 没有平方根。

3.平方根是±9的数是 。

4.-5是 的负的平方根。

5.的平方根是 ,算术平方根是 。

6.x?7有意义,那么x的取值范围是 。

7.若x?6,则x= ,若x2?6,则。

三、解答题:

1.x为何值时,2?x?x?2有意义。

2.若x?1?xy?4?0,求x?y的值。

3

3.解下列方程:

(1)?x?2??169?0; (2)?25x2?125?0; 2

6.为了美化校园,希望中学欲在教学提前建一圆形花坛,若想使花坛的面积为6.28㎡,那么花坛的半径应为多少米?(?取3.14)

[课后作业]

1.下列各式中,正确的是( )。

A.25??5 B.?32??3 C.?36??6 D.a2?1一定有平方根

2.平方根是±1

3的数是( )

A.±1 B.1

99 C.13 D.1

3 3.对于4x?1,当x 时,它有意义?

4.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是 。

5.求下列各式的值:

(1)?25; (2)?4

25?9

16?1

25;

8.解下列方程:

(1)4x2?256?0 (2)??x?3?2????4?3 (3)?x?4?2?169

9.若x?10?x?y?25?0,求x?y?xy的值。

4

第二讲 立 方 根

【知识要点】

1、立方根的定义

一般地,如果一个数x的立方等于a,即x?a,那么这个数x就叫做a的立方根。

2、性质:正数的立方根是一个正数;负数的立方根是一个负数;0的立方根是0。

3、立方根的表示方法:

每个数a都只有一个立方根(立方根的唯一性),记为“a”,读作“三次根号a”。

4、开立方与立方的关系:

求一个数a的立方根的运算叫做开立方,其中a叫做被开方数。

开立方与立方互为逆运算。记:3a?3?a,a3?a

5、开立方和小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位,则立方根的小数点就向右或向左移动一位。

6、n次方根的定义: 如果一个数的n次方等于a,这个数叫做a的n次方根。

7、n次方根的性质:

(1)正数的偶次方根有两个,它们互为相反数,负数没有偶次方根;

(2)任何数a的奇次方根只有一个,且与a同正负。

【典型例题】

例1-1 下列各数有立方根吗?若有,请你把它求出来;

(1)-27 (2)

(5)-1 (6)-125 (7)?43 (8)???5? 3125 (3)0 (4)64 64

例1-2 求下列各式的值:

(1)??

5 271922 (2)? (3)?8? (4)?32??1? 6427

例2 求满足下列各式的未知数x:

(1)x3?125?0 (2)x3?3?1

(3)?1?x???317 27633 (4)3?x?4???375 64

例3 已知??3??81,nn2x?3?5,求x的值。

例4 阅读下题,回答问题: 已知.049?1.45,

求3049,

(2)若45.6?3.57,

例5 学校教学楼顶上有一正方体水池,其体积为64米,求正方体底面积是多少平方米?

例6 很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都早死了,人们找不到水喝,于是大家一同到庙里去向神祈求。神说,我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨水。大家觉得很好办,于是很已然做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍。可是神愈发恼怒,他说,你们竞敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的2倍,我要加倍惩罚你们!请大家想一想,新祭坛的体积到底是原祭坛的多少倍?要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应是原来的多少倍?

6 3.49?3.124, 0.03049,,的值。 4.56?1.66,a?0.357,求a的值。

【练习与拓展】

一、选择题

1、如果-m是n的立方根,那么下列结论正确的是( )

A、m也是n的立方根 B、m也是-n的立方根

C、-m也是-n的立方根 D、以上答案都不正确

2、的平方根与-8的立方根之和是( )

A、0 B、-4 C、0或-4 D、4

3、下列四个说法中:

①1的算术平方根是1; ②18的立方根是±1

2;

③-27没有立方根; ④互为相反数的两数立方根互为相反数

其中正确的是( )

A、①② B、①③ C、①④ D、②④

二、填空题

1、?1

4是?5是

2、64的立方根是 。

3、某数的立方根等于它本身,则这个数是 。

4、一个正数的算术平方根是8,则这个数的立方根是 。

5、???4?3的平方根是,???4?3的立方根是。

三、求下列各式的值:

(1)124125?1 (2)?1961

27 (3)?164 (4)?0.064

四、已知144x2?49,且y3?8?0,求x?y的值。

五、解答题

1、李师傅打算制作一个正方体水箱,使其容积是3.375m3,试问此木箱至少需多少木板?

2、将半径为12cm的铁球熔化,重新铸造出8个半径相同的小铁球,不计损耗,小铁球的 半径是多少?(球的体积公式是V?4

3?R3)

7

【课后作业】

1.若a?4?4,那么?a?65?的值是( ) 3

A、64

2.若?2a? A、?B、-1 C、-125 D、125 7?1,则a的值是( ) 8B、1 81 16C、?1 16

6D、1 8 3.平方根等于本身的数是 ,立方根等于本身是 。 4.0.064的立方根等于 ,??1?的立方根等于。

5.81的平方根的立方根等于 ,9的立方根可表示成 。

6.求下列各式的值:

(1)?27?

7.求下列各式中的x的值:

(1)?1?x???3256 (2)??0.064 124 125(2)x?125?0 3

(3)64x?125?0

8.希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池,其体积为64m,打算由一名建筑工人独立完成,已知该建筑工人一天可垒1米高,一天的工资为40元,问垒完水池后希望中学应付给建筑工人多少钱? 33(4)27?x?2??343 3

8

专题三 实数综合

【知识要点】

1.实数

有理数和无理数统称为实数,实数有以下两种分类方法:

(1)按定义分类

???正有理数

?有理数??

?0??有限小数或无限循环小

实数?数

??负有理数?

???

?

?无理数?

??正无理数?

?负无理数?无限不循环小数

?

(2)按大小分类 ?

实数?正实数

?0

??负实数

2.实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样,例如:?的相反数为3,倒数为?1

3??3,?3的绝对值为??。

3.实数与数轴上点的关系

实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

4.实数的运算

(1)关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用。

(2)涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算。

一、填空题

1.在?2.7?1?,,?2.5,0,?5

8,,?中,属于有理数的是 ,

属于无理数的是 。

2.设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的实数,则a?b?c?

3.计算1

3?27?;3?1

3??

4.化简:?17

64??27??。

5.?2的相反数是 ;?2= 。

6.若a?b?0则a?b?a2。

7.计算2??2? 。

8.比较大小:

9

9.比较大小:

3??。

10.若x?1是4的平方根,则x= ;若x?1是-8的立方根,则x= 。

二、单项选择题

1.若3?x?x?2有意义,则x的取值为( )

A.x﹥3 B.x﹤3 C.x≦3 D.x=3

1043?,0.00001?0.1,???32,??27??27,计273 2.下列各式中:2

算正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.已知a、b是实数,下列命题中正确的是( )

A a?b,则a2?b2 B.a?b,则a2?b2 C a?b,则a2?b2 D.a3?b3,则a2?b2

4.设a、b均为负实数,且a??b,则( )

A.a??b B.a?b C.?a??b D.a?b

5.若数轴上表示数a的点在原点左边,则化简2a?a2的结果是( )

A.3a B.?3a C.a D.?a

6.下列答句中不正确的是( )

A.无理数是带根号的数,其根号下的数字开方开不尽;

B.8的立方根是±2; C.绝对值等于6的实数是;

D.每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。

7.下列计算正确的是( )

A.33xy3x2712?y?0? D2?11?2 ?? B9?21 C4y2y423333

8.一个三角形的三边的长为3,232,250,则此三角形的周长是( ) A.92 C.142?50 A.3.24m B.1.8m B.62?2?102 D.242 C.0.324m D.0.18m 9.底面为正方形的水池容积是4.86m3,池深1.5m,则底面边长是( )

10.已知x是169的平方根,且2x?3y?x2,则y的值是( )

143143 D.65或 33

11.设a是不等于零的有理数,b是无理数,那么下面四个数中必然为无理数的是( ) A.65 B.±65 C.? A.a3?b3 B.?a?b? 3C.?a?b??b D.?a?b??a

12.已知n为任意整数,同 A.一定是整数

C.一定是有理数 n?3n?2n?1n?1表示的数是( ) B.一定是无理数 D.可能是有理数,也可能是无理数

10

13.下列命题中,正确的个数是( )

(1)两个有理数的和是有理数 (2)两个无理数的和是无理数

(3)两个无理数的积是无理数 (4)无理数与有理数的积是无理数

(5)无理数除以有理数是无理数(6)有理数除以无理数是无理数

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

14.下列计算正确的是( )

A.2?3?5 B.2?2?22 C.2??6 D.4

??2?2

15.与2?相乘,结果为1的数是( )

A.3 B.2? C.2? D.?2?3

16.下列计算正确的是( )

A.2?32?5 B.?2?2

C.5?52?62 D.??6?2??6

17.数轴上表示实数x的点在表示-1的点的左边,则式子x?22?2x?12的值是(

A.正数 B.-1 C.小于-1 D.大于-1

18设a??,b??999,c?2,那么a,b,c之间的大小关系是( )

A.a﹥b﹥c B.a﹥c﹥b C.b﹥a﹥c D.c﹥b﹥a

19.若a﹤0,则a2?a3的值为( )

A.-2a B.0 C.2a D.±2a

20.化简3

?2,甲、乙两同学的解法如下:

甲:3

?2?35?2

?2?

5?2??2

乙:3??25?2?

?25?2??2

对于他们的解法,正确的是( )

A.甲、乙的解法都正确 B.甲正确、乙不正确

C.甲、乙的解法都错误 D.乙正确、甲不正确

三、解答题

1.计算:

(1)2?6?6?6?1???2001?0?;

(2)32???3?2?1

6???6??64;

(3)?x?x?22?1?x?2?; (4)?22???2.5??64??3?3???3?2???1;

11 )

(5)??

(6)

(7)2???2; 12?10; 55439??; 328

11?; 33 (8)4?2

(9)2?1?3?22; ??2?

(10)300?72??27;

2? 2.已知实数x,y满足等式2x?3y?1??x?2y?2??0,求2x?

3.已知y?x?5??x?3,求yx的平方根。

4.已知x,y是正数a的两个平方根,且3x?2y?2,求a。

5.已知x?1313?,y??,求x2?y2的值。 22223y的平方根。 5

6.已知a是有理数,且a?3??2?7?43,求a的值。

7.设7的小数部分为b,求?4?b??b的值。

8.一正方形鱼池的边长是6m,另一正方形鱼池的面积比第一个大45m2,求另一个鱼池的边长。

9.大正方形边长为32?2,小正方形的边长为32?2,求图中阴影部分的面积。

10.四边形ABCD中,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=

边形的周长和面积。

C 1CD,CD=6,BC=32,求四4D

1 11.求等式2x2?4x?2?1中字母x的值。 2

12.已知:x是的整数部分,y是的小数部分,求y?

??x?1的平方根。 12

专题四 非负数的性质及应用

【知识要点】

1、二次根式的基本性质(式子a?a?0?叫做二次根式)

2??对于非负数a,有a?a?a?a?0? (1)? ?2??对于任意实数,则a?a??0?a?0???a?a?0?? (2)若a>b>0,则a?b。 ?

2、最简二次根式

要满足下列条件的根式是最简二次根式:

(1)被开方数的每一个因式的指数是1。 (2)被开方数不含有分母。

3、二次根式运算法则

(1)a?a??m?na?a?0?; (2)ab?a?b?a?0,b?0?;

(3)a?ba?a?0,b?0?; (4)a?n?an?a?0?; (5)a?a?a?0?;

4、复合二次根式a?b的化简:

设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=a,x·y=b,则a??x?y2?x?y

25、非负数的三种形式:绝对值a、平方项a、算术平方根a?a?0?。 【典型例题】

例1-1 已知x?y?5?

2例1-2 已知a?b?3?a?b?2?0,求2x?y?4?0,求yx的值。 ??b的值。 a

例2 化简a?2?a?3。

例3-1 设△ABC的三边分别是a、b、c,且a?c?8b?4ab?4bc?0。试判断△ABC的形状。

例3-2 已知x?y?z?3?2

222x?y?z,若x、y、z代表△ABC的三边,试判断△ABC的形状。 ?

13

例4-1 已知x?y?z?1?y?z?x?2?z?x?y?3,求x?y?z的值。

例4-2 已知x?y?z?11?y?z?x?5?z?x?y?1,求x?y?z的值。

例5 已知a、b为实数,且满足?a??b?1?b?0,则a2004?b2004的值是多少?

例6 若实数a,b,c满足a?2b?2,且ab?3

2c2?1

4?0,则bc

a的值为多少?

例7 若u,v满足v?2u?vv?

4u?3v?2u

4u?3v?3

2,求u2?uv?v2的值。

例8-1 设a?b,化简根式2ab?a?b。

例8-2 化简3?22?3?22。

例8-3 已知a?b??,a?b??,那么ab的值是多少?

例9 求?3?4的整数部分。

思考题:化简1

n22n?1?n2?1?n2。 ?2n?1

14

【课堂练习】

1.下列等式成立的是( )。

A.a?

22a?b B.a??a?b?a?b? C.a?b?a?b?a?b? D.a?b?

2ab?a?0,b?0? 则实数a的值是( )。 ?3x?y, 2.已知x,y3x?4?y?y?9?0,若axy

A.1

4 B.?1

4 C.7 D.?7

44

3.实数a满足a?a?0,则a是( )。

A.零或负数B.非负数 C.非零实数D.负数

4.如果x?1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )。

A.大于零 B.等于零 C.不小于1 D.大于1

5.?x?12是一个实数,则x可取值的个数为( )。

A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 6.已知实数x、y满足x?2?x?y?5?0,则?x4?y2的值是(

A.0 B.5 C.2 D.-5

7.若a,b是实数,且a?b2?b?a,则a与b的大小关系是( )。

A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b

8.若a、b是实数,则下列命题正确的是( )。

A.若a?b,则a2?b2 B.若a?b,则a2?b2

C.若a?b,则a?b D.若a2?b2,则a?b 二、填空题。 1.若2?x?x?2有意义,则x= 。

2.若两个实数x和y互为倒数,则xy= 。

3.19

16的算术平方根的倒数的相反数是。

4.化简???的结果是 。

5.代数式8?63??63的值是 。

6.6?35?6?35的值为 。

7.若y?2x?5??4x?10,则x= ,y= 。

8.若a与它的绝对值的和为零,则a2?a3? 。 15 )

9.等式ab??a成立的条件是 。

10.已知x?

三、解答题。

1.已知?2x?y?1??7a?2b?11?a?b?1??4x?3y?1?,求ab+xy的值。 2221,化简3x?2??4x?4x2的结果是 。 2

a2?1??a2?a,求a?b?3的值。 2.若a、b为实数,且b=a?1

3.设a、b、c是实数,若a+b+c=2a?1?4b?1?6c?2?14,求?b?c??b?c?a??c?a?b?的值。

4.已知x+y+z=2z

6.已知s、t为实数,且?4s?1??2x?y?z?3,若x、y、z代表△ABC的三边,试判断△ABC的形状。 ?1t?2?c,求实数S3-t-1的倒数的相反数是多少? 3

8.计算:2??

9.化简:4??

10.x?y?2??3?22?3?22 4??23? 7?52,x?y?72?53,那么xy的值是( )。

B.33?32 C.? D.72?5 A.3?32

16

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