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15.1.1 从分数到分式

发布时间:2013-12-16 15:36:37  

15.1.1 从分数到分式

问题 :一艘轮船在静水中的最大航速是
30km/h,它以最大船速沿江顺流航行90km 所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用 的时间相等,江水的流速是多少?

最大船速顺流航行 以最大航速逆流航行 = 60千米所用的时间 90千米所用时间

如果设江水流速为v km/h

90 30 ? v

?

60 30 ? v

思考
1.长方形的面积为10cm2 ,长为7cm,

10 宽应为____cm; 7

S 长方形的面积为S,长为a,宽应为______; a

S
a

?

2.把体积为200cm3 的水倒入底面积为 33cm2
200 33 的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;

把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形

v s 容器中,水面高度为______.

S

V

思考:
v 90 60 S 式子 和 以及式子 和 有什 30 ? v 30 ? v a s
相同点
都具有分数的形式

么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?

不同点 (观察分母)
分母中有字母

类比:
被除数÷除数=商数
如: 3 ÷ 5 =
3 5

被除式÷除式=商式 类比 如: (v-v0)÷ t = v-v0 t
整式(A) 整式(B) 分式(

整数 整数 分数

A ) B

分式定义:
一般地,如果A、B表示两个整式,且B中含
有字母,那么称

分子,B为分式的分母.

A 为分式 . 其中A叫做分式的 B

注意:分式是不同于整式的另一类有理式,且分 母中含有字母是分式的一大特点.
分式的分母不能为0, 即当B≠0时,分式 A 才有意义. B

例:指出下列代数式中,哪些是整式,
哪些是分式?

x 2x ? 1 1 x ? 1 x a ? 2ab ? b , , (a ? b), , , 2 3x 2 ? x a ?b x 1 x ?1 解:整式有 , (a ? b), 2 2 ?
2 2

2

分式有 2x ? 1 , x , a ? 2ab ? b
2 2

2

3x

x

a?b

判断:下面的式子哪些是分式?

2 b?s
4 5b ? c

3000 300 ? a

2 7

V S

S 32

1 2x ? 5
2

?5

5x ? 7

x 2 ? xy ? y 2 2x ?1

3x ? 1
2

分式:

思考:
A 的分母有什么条件限制? 1、分式 B A 无意义. 当B=0时,分式 B A 当B≠0时,分式 B 有意义. 2、当 A =0时分子和分母应满足什么条件? B A 当A=0而 B≠0时,分式 的值为零.
B

例 :(1)当x

2 时,分式 有意义? 3x

2 解: 要使分式 有意义 3x

必须 3x≠0

2 所以当x≠0时,分式 有意义. 3x

即 x≠0

(2)当x

(3)当b

x 时,分式 有意义; x ?1 1 时,分式 有意义; 5 ? 3b

(4)当x,y满足关系
x? y 意义. x? y

时,分式有

解: (2)当分母x-1≠0即x≠1时,分式
x 有 x ?1

意义; 5 1 (3)当分母5-3b≠0即b≠ 时,分式 3 5 ? 3b 有意义; x? y (4)当分母x-y≠0即x≠y时,分式 x? y 有意义.

(1) 当x为何值时,分式无意义? (2) 当x为何值时,分式有意义?
解:(1)当分母等于0时,分式无意义, 即 x+2=0 所以 x = -2 x2 ? 4 所以当x = -2时,分式 无意义.
x?2

x ?4 例: 已知分式 , x?2
2

(2)由(1)得 当x ≠-2时,分式有意义.

x ?4 例: 已知

分式 , x?2
2

(3) 当x为何值时,分式的值为0; (4) 当x= - 3时,分式的值是多少?
解: (3)当分子等于0而分母不等于0时,分式的值 为0, 则 x2 - 4=0 所以 x = 〒2.

x ?4 所以当x = 2时,分式 的值为0 x?2 2 2 x ? 4 (?3) ? 4 (4)当x = -3时, ? ? ?5 ?3? 2 x?2

而x+2≠0

所以x ≠ -2 2

练习:
1、列式表示下列各量:

40 (1)某村有n个人,耕地40公顷,人均耕地面积为 n 公顷; 2S (2)△ABC的面积为S,BC边长为a,高AD为 a .
(3)一辆汽车行驶a千米用b小时,它的平均车速为

a b 千米/小时;一列火车行驶a千米比这辆汽车 a 少用1小时,它的平均车速为 b ? 1 千米/小时.

2、下列式子中,哪些是分式?哪些是整式? 两类式子的区别是什么?

1 x

x x 4 2a ? 5 2 2 3 x ?y 3 3b ? 5 3

m?n m?n

x ? 2x ?1 2 x ? 2x ?1
2

c 3?a ? b ?

区分整式与分式的标准就是看分母中是否含有 字母,含有字母的是分式,不含字母的是整式.

3、下列分式中的字母满足什么条件时 分式有意义?

2 a
a≠0

x ?1 x ?1
x≠1

2m 3m ? 2
2 m?? 3

1 x? y
x≠y

2a ? b 3a ? b b≠3a

2 2 x ?1

x≠〒1

小结与作业:
?分式的定义 ?分式有意义 ?分式的值为0
①分子=0

整式A、B相除可写为 B 的形式,若分母中含有 A 字母,那么 叫做分式.
B

A

分母不等于0

②分母≠0

③最后答案

课本P133习题15.1第2、3题.

补充例题:
当 时,分式

x ?1 x ?1

的值为零.

【解析】要使分式的值为零,只需分 子为零且分母不为零, ∴ ? x ? 1 ? 0,

解得x=1.

? ? ? x ? 1 ? 0, ?

补充例题:
2

x ?1 若分式: 的值为0,则( x ?1
【解析】选B. 由x2-1=0得x2=1, ∴x=〒1, 又∵x-1≠0即x≠1, ∴x=-1.



A.x=1 B.x=-1 C.x=〒1 D.x≠1

补充例题:
下列式子是分式的是( )

x A. 2

x x x B. C. ? y D. x ?1 2 ?

【解析】选B.根据分式的定义判断,A,C分母中

都不含有字母,D中虽含有字母π,但是其表示
一个固定的数——圆周率.

小测验
1、(1)在下面四个代数式中,分式为( B )

1 2x ? 5 A、 B、 3x ?7

x ?1 x 2x A、 B、 C、 x x ?1 x ?1
2、

1 x D、- + 4 5 ⑵ 当x=-1时,下列分式没有意义的是( C )
D、

x ?8 C、 8

x?2 的值为零. 3、 当x =2 时,分式 2x ?1 4、 已知,当x=5时,分式 2 x ? k 的值等于 3x ? 2 零,则k =-10 .

x?2 1 当x ≠ 时,分式 有意义. 2 2x ?1

x ?1 x

? x ?1 5、分式 有意义的条件: x取全体实数 。 2 x ?1 ? x ?1 当x= -1时,分式 的值为 1 ;

x ?1
2

x?2 6、 要使分式 有意义, x 的取值满足 ( x ? 1)( x ? 2) ( C ) A. x ? 1 B. x ? 2
C. x ? 1且x ? 2 D.

x ? 1或x ? 2

7、分式

x?3 的值能等于0吗?说明理由. x 2 ? x ? 1

2

8、当x为何值时,代数式

1 有意义? x ?1 ? 2

x ?1 9、当x为何值时,分式 2 无意义? x ? 2x ? 3
x≠3且x≠-1 x2 ?1 10、当x为何值时,分式 的值为零? x=1 x ?1 11、x为何整数时,分式 12 的值为整数? x ?1 x=-13,-7,-5,-4,-3,-2,0, 1,2,3,5,11

x≥1且x≠5


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