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轴对称图形复习课

发布时间:2013-12-16 15:36:40  

轴对称图形复习课

一、知识概况

本章着重研究轴对称的概念, 性质,轴对称的作图,应用,以及 轴对称图形和几个常见的轴对称图 形的性质和判定。

(一)轴对称和轴对称图形
1、概念

如果把一个图形沿着某一条直线折叠 后,能够与另一个图形重合,那么这两个 图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫 做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称 点。 如果把一个图形沿着一条直线折叠, 直线两旁的部分能够互相重合,那么这个 图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称 轴。

2、轴对称的性质: 成轴对称的两个图形全等;如果两个 图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线 的垂直平分线。

(二)几个轴对称图形的性质:
1、线段、射线、直线。
线段是轴对称图形,它有两条对称轴, 它的对称轴是它所在的直线,和线段的垂 直平分线。

线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等;到线段两端的距离相等的点在 线段的垂直平分线上。

2、角: 角是轴对称图形,它的对称轴是它 的角平分线所在的直线。

角平分线上的点到角的两边的距离 相等;到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上。

3、等腰三角形→等边三角形

4、等腰梯形
从对称的角度理解等腰三角形和等腰 梯形的性质和识别方法。
5、正多边形 6、圆

二、重、难点剖析
1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。
区别: 轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完 全重合,而轴对称图形是指一个图形的两个部 分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。 轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小 关系;轴对称图形是反映一个图形的特性。对 称轴可能会有多条。

联系: 两部分都完全重合,都有对称轴,都 有对称点。 如果把成轴对称的两个图形看成是一 个整体,这个整体就是一个轴对称图形; 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成 两个图形,这两个部分图形就成轴对称。

2、轴对称的性质和几个简单的轴对称 图形的性质,是这部分的重点知识,应引 起足够的重视。 3、轴对称的实际应用应提高到足够 的地位。 4、用对称的眼光看问题,解决问题, 指导辅助线的添加。

例1:如图,如果△ACD的周长为17cm, △ABC的周长为25cm,根据这些条件, 你可以求出哪条线段的长?

A

D
思路点拨:

B

E

C

(1)△ACD的周长=AD +CD+AC=17; (2)△ABC的周长=AB+AC+BC=25; (3)由DE是BC的垂直平分线得:BD=CD;所以AD+CD= AD+BD=AB。

(4)由(2)-(1)得BC=8cm.

小结点评:

(1)分析题意时,要将复杂条件简单化、 具体化。 (2)当条件中有线段的垂直平分

线时, 要主动去寻找相等线段。

例2:如图,AD是△ABC的中线,∠ADC= 60°,把△ADC沿直线AD折过来, C落在C′ 的位置, (1)在图中找出点C′,连结BC′; (2)如果BC=4,求BC′的长。
A

B

D

C

C′

A

思路点拨:
B D C

由于翻折后的图形与翻折前的图形关 于折痕对称;所以C、C′关于直线AD对称, AD垂直平分CC′,

又处于对称位置的元素(线段、角) 对应相等,这为问题解决提供了条件。

C′

A

O
B D C

解: (1)画CO垂直AB,并延 长到C′,使得OC′=OC, 点C′即为所求。

(2)连结C′D,由对称性得CD=CD′, ∠CDA=∠CDA=60°;所以∠BDC=60°,
所以, △C′BD是等边三角形, 所以,BC′=BD=2。

小结点评:
1、翻折变换后得到的图 形与原图形关于折痕对称;对 应点的连线段被折痕垂直平分;
B

C′

A

D

C

2、解决翻折问题,要注意隐含在图形中的相 等线段、相等角,全等三角形;因为一切处于对 称位置的线段相等,角相等,三角形全等。
3、从对称角度完善图形,让隐含条件显现 出来,这是这部分题目添加辅助线的一个重要规 律。

课堂练习

练习1.将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方 式依次对折后,再沿⑶中的虚线裁剪,最后 将⑷中的纸片打开铺平,所得图案应该是下 面图案中的( )

A

B

C

D

小结点评:
这类问题主要训练空间想象能力。 我们可以实际操作,也可以倒推,还可 以在头脑中进行思维实验,不过后者能 力的要求比较高。

例3.如图,△ABC和△A’B’C’关于直线 MN对称,△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直 线EF对称。 (1)画出直线EF; 思路点拨:
由于连结对称点的线 段被对称轴垂直平分,所 以连结对称点的线段,作 其垂直平分线,即为两个 图形的对称轴。

A

M

A’ B’ B’’ A’ ’

B C N C’

C’’

(2)直线MN与EF相交于点O,试探究 ∠BOB’’与直线MN、EF所夹锐角α的数 量关系。 思路点拨:
从对称角度来看, 连结OB、OB”的对称线 B’ B B’’ A’ 段OB′,可以得到两 ’ C C’ 组角相等,问题容易 得到解决。 C’’ N O
E
A M A’

F

解:(1)如图,连结B’B’’。 作线段B’B’’的垂直平分线 EF。 则直线EF是△A’B’C’和 △A’’B’’C’’的对称轴。

A

M A’ B’ B’’

E
A’ ’

B C N C’

F 结B’O。 ∵△ABC和△A’B’C’关于MN对称, ∴∠BOM=∠B’OM 又∵△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于EF对称, ∴∠B’OE=∠B’’OE。 ∴∠BOB’’=∠BOM+∠B’OM+∠B’OE+∠B’’OE =2(∠B’OM+∠B’OE)=2α。 即∠BOB’’=2α

O

C’’

小结点评:

(1)作两个成对称图形的对称轴,只需 将对称点的垂直平分线作出即可。

(2)成轴对称的两个图形的对应元素相 等是解题的关键。 (3)补全对称图形中所缺的部分,是添 加辅助线的重要思考方向。

例4:如下图,由小正方形组成的L形图中, 请你用三种方法分别在下图中添画一个小正 方形使它成为一个轴对称图形:

小结点评:
设计图案问题,要注意设计的要求, 注意从多个角度思考问题,本题中的对 称轴的位置可以是水平的,也可以是竖 直的,还可以是斜的,特别是后者,我 们常常容易忽视。 做完这类题目,还要注意检验,看 是否符合题目的全部要求。

练习2.如图,在一个规格为4×8的球台上, 有两个小球P和Q。若击打小球P经过球台的 边AB反弹后,恰好击中小球Q,则小球P击 出时,应瞄准AB边上的( ) B A、O1点 B、O2点 C、O3点 D、O4点

例5、已知:如图,CD是RtΔABC斜边上的 高,∠A的平分线AE交CD于点E。求证:CE =CF。

C F A E D B

思路点拨:
思路1: (1)从结论出发: A

C F E B

D 要得到CE=CF,只要有∠CEF=CFE; (2)从条件出发:
条件有:∠CAF=∠BAF; CD⊥AB; ∠ACB=90°。

(3)从图形出发:
C F C F E D 图1 A 图2 B

A

B

∠CAF=∠BAF C
A D 图3 B

∠CAF+∠ACD =∠BAF+∠B ∠CEF=CFE

CD⊥AB ∠ACB=90°

∠ACD=∠B

CE=CF

C F E D

C F E D G

A

B

A

B

思路2: 因为图形中有角平分线,且FC⊥AC, 考虑用角平分线的性质,补全所缺的部分, 过F作FG⊥AB。

小结点评: 1、对于复杂的推理问题,学会分析 方法很重要。一般可以从结论出发倒推 (分析法),可以从条件出发顺推(综 合法),也可以从两头同时出发(两头 凑)寻找解题途径。
2、分析图形,是解题的关键。其 实质是分解图形,重新组合图形,挖 掘图形和题目中的隐含条件。

等腰三角形

等边三角形

生 活 中 的 轴 对 称

轴对称

作图形的对称轴

作轴对称图形

用坐标表示轴对称

追求梦想 永不放弃


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