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一元二次方程复习课

发布时间:2013-12-16 15:36:41  

一元二次方程 基本概念和解法

练习一 1、判断下面哪些方程是一元二次方程 2 2 (1)x -3x+4=x -7 (×)
(2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - ? 2 ? 0
2 1 x 2 2

(√ ) ( ×) (×) (√ ) (×)

(5) x ? 1 ? 3
2

(6) ? y ? 0
y 4 2

化为一般 2x2-3x-1=0 其二次项系数 形式是:___________, 是____,一次项系数是____,常数项是 2 -3 ____. -1 3、方程(m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程,则 (C ) A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠ ±2
2 2、把方程(1-x)(2-x)=3-x

小结

定义及一般形式: ? 只含有一个未知数,未知数的最高 二次 整 次数是______的___式方程,叫做一 元二次方程。
(a≠0) ?一般形式:________________
2+bx+c=0 ax

解一元二次方程的方法有几种?

例:解下列方程
? 1、用直接开平方法: (x+2)2=9

解:两边开平方, 得: x+2= ±3

右边开平方 后,根号前 取“±”。

∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5

例:解下列方程
?2、用配方法解方程

4x2-8x-5=0

两边加上相等项“1”。

步骤归纳 ① 同除二次项系数化为1; ②移常数项到右边; ③两边加上一次项系数一半的平方; ④化直接开平方形式; ⑤解方程。

3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
a=3 b=-4 c=-7

先变为一 般形式, 代入时注 意符号。

∵b2-4ac=(-4)2-4333(-7)=100>0 ∴x1=
4 ? 100 2 ? 5 ∴ x? ? 6 3 7
3

x2 = -1

步骤归纳
① 先化为一般形式; ②再确定a、b、c,求b2-4ac; ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
- b± b - 4ac x = 2a
2

若b2-4ac<0,方程没有实数根。

4、用分解因式法解方程:把y+2看作一个 (y+2)2=3(y+2) 未知数,变成 解:原方程化为 (y+2) 2- 3(y+2)=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(ax+b)(cx+d)=0 形式。

步骤归纳

①右边化为0,左边化成两个因式 的积; ②分别令两个因式为0,求解。

练习三 选用适当方法解下列一元二次方程 直接开平方 法 ① (2x+1)2=64 分解因式 ② (x-2)2-4(x+1)2=0 法 分解因式 法 ③ (5x-4)2 -(4-5x)=0 ④ x2-4x-10=0 法 配方 公式 ⑤ 3x2-4x-5=0 法 配方 ⑥ x2+6x-1=0 法 分解因式 ⑦ 3x2 -8x-3=0 法 公式 ⑧ y2- 2y-1=0 法
小结:选择方法的顺序是: 直接开平方法 →分解因式法→配方法→公式法

把握住:一个未知数,最高次数 一元二次方 是2,整式方程 一般形式:ax2 +bx+c=0(a?0) 一 程的定义 直接开平方法: 元 一元二次方 适应于形如(x-k)2 =h 二 (h>0)型 次 程的解法 配方法:适应于任何一个一元二 方 次方程 程 公式法:适应于任何一个一元二 次方程 一元二次方 因式分解法: 适应于左边能分解为两个一 程的应用 次式的积,右边是0的方程

1.若关于x的一元二次方程 x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2,则另一个 根是______.

变式.若关于x的一元二次方程
x2+3x+k=0的一个根

是-2,则另一个根 是______. 变式.若关于x的一元二次方程 x2+(k+3)x+4=0的一个根是-2,则另一个 根是______.

2.请你写出一个有一根为1的一元二次方 程: .

3.三角形两边的长是3和4,第三边的长 是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的 周长为( B ) A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对

4. 如图,在宽为20米、长为30米的矩形 地面上修建两条同样宽的道路,余下部 分作为耕地. 若耕地面积需要551米2,则 修建的路宽应为( A ) A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米

5、求证: (1)对于任何实数x,均有:x 2? 4? 4 x5 >0; x x? ?3
2
2

(2)不论x为何实数,多项式 3x 2 大于 2 x 2

? 5 x ? 1的值总

? 7 x ? 5 的值。

一元二次方程 根的判别式

? 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况: (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当Δ<0时,方程无实数根. 2.根据根的情况,也可以逆推出Δ的情况,这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.

? 热身
1. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0没有实数根, 则k的取值范围是 ( D ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1

2. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ( D ) A.m<1 B. m<1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 3. 如果方程组 2 y ? 3x 为 A. -3/8 B.3/8
y ? x ? 2m

只有一个实数解,那么m的值 ( A) C. -1 D.-3/4

? 热身
4. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的 值及该方程的根。 解:Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1=2, m2=0(二次项系数不为0,舍去)。 当m=2时,原方程变为2x2-5x+3=0, x=3/2或x=1.

? 典型例题解析
【例1】 已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0, 当m为何非负整数时: 当m-2=0即m=2时 x=3/2,成立 (1)方程只有一个实数根; m=3 (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程有两个不等的实数根. m=0,1 【例2】 已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实根,且满足2a-b=0. (1)求a、b的值; a=1,b=2 (2)已知k为一实数,求证:关于x的方程 (-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.
将a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0. 又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8>0∴方程有两个不等的实根.

? 典型例题解析
【例3】 关于x的方程 kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围;k>-1/2,且k≠0. (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 不存在,理由略。
【例4】 已知:a、b、c是△ABC的三边,若方程

ax ? 2 b ? c x ? 2 ( b ? c ) ? 2 a
2 2 2

有两个等根,试判断△ABC的形状. 解:利用Δ =0,得出a=b=c. ∴△ABC为等

边三角形.

? 典型例题解析
【例5】 已知:m、n为整数,关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解,x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根,x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根,求 m、n的值. 解:∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根, ∴(4+m)2-4(n+6)=0,即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根, 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根, ∴(7-m)2-4(3+n)>0,(m-4)2-4(n+1)<0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2,从而n=3.
20 45 ?m ? 16 22

1.求判别式时,应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时,前提条件为 “方程是一元二次方程”,即二次项系数不为0.

一元二次方程 实际问题

实际问题
传染问题、

百分率问题、
营销问题、

面积问题

实际问题
传染问题、

问题 1、 5212 汶川大地震举国同殇,本次地震灾区防疫措 施得力,没有发生传染病。 据调查,地震后若没有防疫措施, 最容易发生某种传染病,若有一人感染,经过两轮传染后将 共有 81 人感染,请计算这种传染病每轮传染中平均一个人传 染了几个人? 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 依题意得: 1 ? x ? x ? 1 ? x ? ? 81 , 解得 x1 ? 8, x2 ? ?10 (不合题意,舍去). 答:每轮传染中平均一个人传染了 8 个人.

一定要注意解得的根 是否符合题意

练习:甲型流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型流感 没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型流感, 每天平均一个人传染了几人?如果按照这个传染速度,再经过 5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型流感?
1 分析:第一天人数+第二天人数=9,? x ? x(1 ? x) ? 9 解:设每天平均一个人传染了x人。 (1 ? x) 2 ? 9 1 ? x ? x(1 ? x) ? 9 既 x2 ? 2 解得:x ? ?4 (舍去)
1

9(1 ? x)5 ? 9(1 ? 2)5 ? 2187 或

(1 ? x)7 ? (1 ? 2)7 ? 2187

答:每天平均一个人传染了2人,这个地区一共将 会有2187人患甲型流感

实际问题

百分率问题、

常见实际问题运用举例:
(一) 变化率的题目 方法提示:增长率问题:设基数为a,平均增长率为x, 2 a(1+x) a(1+x) 则一次增长后的值为___ ,二次增长后的值为_ _ 降低率问题:若基数为a,平均降低率为x, a(1-x) a(1-x) 则一次降低后的值为_______,二次降低后的值为_ 2

巩固练习
1、政府近几年下大力气降低药品价格,希望使广大人民群众 看得起病吃得起药,某种针剂的单价由100元经过两次降价,降 至64元,设平均每次下降的百分率为x,则可列方程 2 ( ). 100(1-X)=64 2、某商厦二月份的销售额为100万元,三月份销售额下降了 20%,该商厦赶快改进经营措施,销售额

开始稳步上升,五月份 销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x,则 2 可列方程( 100(1-20%)(1+x)=135.2 )

3.某超市1月份的营业额为200万元, 第一季度营业额为1000万元,若 平均每月增长率相同,求该增长率。
200+200(1+x)+200(1+x)=1000
2

4.商店里某种商品在两个月里降价 两次,现在该商品每件的价格比 两个月前下降了36%,问平均每 月降价百分之几?

实际问题
营销问题、

1. 新华商场销售某种水箱,每台进货价为2500元, 市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能 售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能 利多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每 天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?

润 每台冰箱的销售利润3平均每天销售冰箱的数量=5000元. 问 (2900-x) 如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是____________元,每 (2900-x-2500) 题 台冰箱的销售利润为_____________________元,平均每天销售冰箱的数 x
( 8 + 43 ) 量为_______________台,这样就可以列出一个方程,进而解决问题了. 50

解:设每台冰箱降价x元,根据题意,得

x ? ? ? 2900 ? x ? 2500 ? ? 8 ? 4 ? ? ? 5000. 50 ? ?
解这个方程,得
x1=x2=150. 2900-150 = 2750. 所以,每台冰箱应定价2750元.

2.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克 盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在 利 进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将 润 减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时 又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

问 每千克的盈利×每天的销售量=每天的盈利 题

(10+x)元 (500-20x)千克 6000元 解:设每千克应涨价x元. 由题意得: (10+x)(500-20x)=6000 解得: x1=5,x2=10 因为为了使顾客得到实惠,所以x=5 答:每千克应涨价5元.

实际问题
面积问题

几何问题
方法提示:1)主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的 面积公式是等量关系, 如果图形不规则应割或补成规则图形, 找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出 方程; 2)与直角三角形有关的问题:直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方是 这类问题的等量关系,即用勾 股定理列方程。 巩固练习: 如图,一块长方形铁板,长是宽 的2倍,如果在4个角上截去边长为 5cm的小正方形, 然后把四边折起来,做成一个没有盖 的盒子,盒子的容积是3000cm,求 铁板的长和宽。

面 积 问 题

某中学有一块长为a米,宽为b米的矩形场地,计 划在该场地上修筑宽是2米的两条互相垂直的道路, 余下的四块矩形场地建成草坪. (1)如下图,分别写出每条道路的面积,用含a,b的代 数式表示

; (2)已知a:b=2:1,并且四块草坪的面积和为312平方 米,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米? 解:(1)横条道路的面积为2a平方米, 竖条道路的面积为2b平方米.
b a

面 积 问 题

某中学有一块长为a米,宽为b米的矩形场地,计 划在该场地上修筑宽是2米的两条互相垂直的道路, 余下的四块矩形场地建成草坪. (1)如下图,分别写出每条道路的面积,用含a,b的代 数式表示; (2)已知a:b=2:1,并且四块草坪的面积和为312平方 米,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米? 解:(1)横条道路的面积为2a平方米, 竖条道路的面积为2b平方米.
b a

(2)设b=x米,则a=2x米 由题意得: (x-2)(2x-2)=312 解得: x1=14,x2=-11(不合,舍去) 答:此矩形的长与宽各为28米,14米.

拓展提高:
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修 筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪, 要使草坪的面积为540㎡,求两种方案下的道 路的宽分别为多少?

(32-2x)(20-x)=540

(32-x)(20-x)=540

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
25m 180m2

? (1) 鸡场的面积能达到180m2吗? ? (2) 鸡场的面积能达到200m2吗? ? (3) 鸡场的面积能达到250m2吗?

? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
? 解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为xm, 根据题意得
25m 180m2 x

? 40 ? x ? x? ? ? 180. ? 2 ? 即x 2 ? 40 x ? 360 ? 0.

40 ? x 2

解这个方程, 得
x1 ? 20 ? 2 10 ; x2 ? 20 ? 2 10.

? x1 ? 20 ? 2 10 ? 20 ? 40 ? 20 ? 25 ? 25?不合题意, 舍去?.

答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的长为 20 ? 2 10 m.

?

?

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
? 解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为xm, ? 根据题意得

x?40 ? 2 x ? ? 180. 即x 2 ? 20 x ? 90 ? 0. 解这个方程, 得 x1 ? 10 ? 10 ; x2 ? 10 ? 10.

25m

180m2
40-2x

x

?当x2 ? 10 ? 10时, 长40 ? 2 x ? 20 ? 2 10 ? 25?不合题意, 舍去?. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 ? 10 m.

?

?

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.

解:(2)解:设养鸡场的靠墙的一边长为xm,
根据题意得

? 40 ? x ? x? ? ? 200. ? 2 ? 即x 2 ? 40 x ? 400 ? 0.

25m 200m2 x

40 ? x 2

解这个方程, 得 x1 ? x2 ? 20.

答 : 鸡场的面积能达到200m2 , 这时鸡场的长为20m.

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
?解:设养鸡场垂直于墙的一边为xm,

根据题意得

x?40 ? 2 x? ? 200. 即x 2 ? 20 x ? 100 ? 0. 解这个方程, 得 x1 ? x2 ? 10.

25m 200m2 40-2x

x

答 : 鸡场的面积能达到200m2 , 这时鸡场的宽为 m. 10

? 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(3)设养鸡场的靠墙的一边长为xm,
根据题意得

? 40 ? x ? x? ? ? 250. ? 2 ? 即x 2 ? 40 x ? 500 ? 0.

25m 250m2 x

? x ? 20 ? ? ?100
2

x2 ? 40 x ? ?500 x2 ? 40 x ? 400 ? ?500 ? 400

40 ? x 2

负数是没有平方根的. 这个方程无解. 答 : 鸡场的面积不能达到250m2 .

3、如图,礼品盒高为10cm,底面为正方形,边长为4cm,

若保持盒子高度不变,问底边边长应增加多少厘米才能
使其体积增加200cm3? 解:设底边边长应增加xcm, 由题意,可列出方程_________________

10(x+4)2=10×42+200

小结
?列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似, 即审、设、列、解、检、答.
? 这里要特别注意:在列一元二次方

程解应用题时,由于所得的根一 般有两个,所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求.

其它类型应用题:
1.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10cm, BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同 时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点 B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动, 其中一点到终点,另一点也随之停止。连结PQ。 A 设动点运动时间为x秒。 (3)是否存在x的值,使得四 (1)用含x的代数式表 (2)当为何值时, 边形APQC的面积等于20cm2?若 P 示BQ、PB的长度; △PBQ为等腰三角形; 存在,请求出此时x的值;若不 存在,请说明理由。 B Q C

其它类型应用题:
2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°, BC=16,AD=21,DC=12,动点P从点D出发,沿 线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动, 动点Q从点C出发,沿线段CB 以每秒1个单位 长度的速度向点B运动. 点P、Q分别从点D、C 同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止 运动,设运动时间为t秒. 问:当t为何值时,△BPQ是等腰三角形? P D A 分类讨论思想
7 16 或t? t ? 2 3

B

Q C

3.如图所示,已知一艘轮船以20海里/时的速 度由西向东航行,在途中接到台风警报, 台风中心正以40海里/时的速度由南向北移 动,距台风中心20 √10 海里的圆形区域 (包括边界)均会受到台风的影响,当轮 船到A处时测得台风中心移动到位于点A正 南方向的B处,且AB=100海里,若这艘轮 船自A处按原速原方向继续航行,在途中是 否会受到台风的影响?若会,试求出轮船 最初遇台风的时间;若不会,请说明理由。
A

B

? 学以致用
?

某军舰以20海里/时的速度由西向东航行,一艘电

子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行,它能 侦察出周围50海里(包括50海里)范围内的目标。 如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A 处正南方向的B处,且AB=90海里。如果军舰和 侦察船仍按原速沿原方向继续航行,则航行途中 侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时 侦察到?如果不能,请说明理由。
A

B

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