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1_矩形的性质_课件

发布时间:2013-12-16 16:34:52  

四个学生正在做投圈游戏,他们分别站 在一个矩形的四个顶点处,目标物放在对 角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗? A D 为什么? O

B

C

矩形的定义:

有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形

有一个角 是直角

矩形

矩形是特殊的平行四边形

矩形的一般性质:

具备平行四边形所有的性质
A O B C D

边 对边平行且相等 角 对角相等 对角线 对角线互相平分

探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形,除了具有平 行四边形的所有性质外,还有哪些特殊性质呢?
A D

B

C

猜想1:矩形的四个角都是直角. 猜想2:矩形的对角线相等.

矩形特殊的性质

从角上看:
矩形的四个角都是直角. 从对角线上看: 矩形的两条对角线相等.

求证:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形

求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明: ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90° 又 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C
B

A

D

∠B = ∠D

C

∠A +∠B = 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角

性质2: 猜想2:矩形的对角线相等.
已知:四边形ABCD是矩形 求证:AC = BD
证明:在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC , BC = CB ∴△ABC≌△DCB ∴AC = BD
B C A D

矩形的特殊性质

矩形的四个角都是直角
A D

数学语言
∵四边形ABCD是矩形

B

C

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900

矩形的特殊性质

矩形的对角线相等
A D

数学语言 ∵四边形ABCD是矩形

B

∴AC = BD C

A

D

O B
C



矩形对边平行且相等; 矩形的四个角都是直角;



对角线 矩形的对角线相等且互相平分;

探索矩形的对称性:
矩形是轴对称图形吗?对称轴有几条?

矩形是中心对称图形吗?

矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。

对称轴是经过对边中点的直线(2条)
A O B D C

思维提升
类别 平行四边形 矩形 既是中心对称 图形又是轴对 称图形 对边平行且 相等

性质
图形特征 中心对称图形




对边平行且 相等
对角相等 邻角互补

四个角都等于 90° 对角线互相 平分且相等

对角线

对角线互相 平分

牛刀小试
如图:在矩形ABCD中, 找出相等的线段与相等的角。

AD3 BA
4

1 10 5 9 12 O 11

2

C 8

D

O

6

7

B

C

想一想:上图中有几个直角三角形,它 们全等吗?图中有个等腰三角形,有几 对全等的等腰三角形? 方法一:矩形的问题可以转化到直角三角形 或等腰(边)三角形中的问题来解决.

A

B

D 1. 已知:如左图,矩形 ABCD的两条对角线相交 O 于点O,∠AOD=120°, AB=4cm,求矩形对角线 C 的长. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD(矩形的对角线相等). 1 1 又∵OA=OC= AC, OB=OD= BD,
2 2

∴OA=OD ∴ ∠ ODA=

∵∠AOD=120 ° ,
180

o ? 120o ∠OAD= 2

=30°,

又 ∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角).
∴BD=2AB=2×4=8 ( cm ) .

锋芒初试
如图:四边形ABCD是矩形
1 若已知AB=8㎝,AD=6㎝,
则AC=

D
O

C

A

B

10

㎝ , OB= ㎝.

5

㎝.

2 若OA=3㎝,则AC= 6

3 若已知AC=10㎝,BC=6㎝,则矩形的周长= 28 ㎝, 矩形的面积=

48

㎝ 2.

4 若已知 ∠DOC=120°,AD=6㎝,则AC=

12

㎝.

1.矩形具有而平行四边形不具有的性 质( ) (A)内角和是360度 (B)对角相等 (C)对边平行且相等 (D)对角线相等

2.下面性质中,矩形不一定具有的是( ) (A)对角线相等 (B)四个角相等 (C)是轴对称图形 (D)对角线垂直

3.矩形ABCD中,∠ABD:∠DBC=2:1, 则∠ADB= 度。若AB=4,则 AC= 。
A D

B

C

5.如图,矩形ABCD,AE⊥BD, 垂足为E,∠DAE=2 ∠BAE。求 ∠BAE和∠DAE的度数。
A

D

B

E C

6.矩形的边长为10cm和15cm,其中一个 内角的平分线分长边为两部分,这两部 分分别为 cm, cm. A D

B

E

C

7.如果矩形的一边与对角线的夹角为50o, 则两对角线相交所成的锐角的度数 为 。
A
500

D O C

B

探索新知
A D

O

在Rt△ABC中, BO= 1 AC

2

B

C

得到:直角三角形的一个性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言: ∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
1 ∴ BO= AC 2

已知:在△ABC中∠ACB=90°,AD = BD 1 求证:CD = AB 2
证明:延长CD到E使DE=CD,连 结AE、BE. ∵AD = BD ,CD = ED ∴ACBE是平行四边形 A 又∵∠ACB = 90

E
D

∴ ACBE是矩形 ∴CE = AB 由于CD=



CD =

1 2 1 2

C

B

CE

AB

营中寻宝
1.已知△ABC是Rt△,∠ABC=900, BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC= 6 ㎝
B A D


C

(2) 若∠C=30°,AB=5㎝,则AC= 10 BD= 5 ㎝.

㎝,

O 解:∵ 四边形ABCD是矩形 60° 4 ∴AC与BD相等且互相平分 B C ∴ OA=OB 小结:如果矩形两对角 ∵ ∠AOB=60° 线的夹角是60°或120°, ∴ △AOB是等边三角形 则其中必有等边三角形. ∴ OA=AB=4(㎝) ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 变式: 已知对角线长是8cm,两对角线的一个夹角 ∠AOD是120°, 求矩形的宽AB与长BC的长.

例: 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于 AD = cm 点O, ∠AOB=60°, , AB=4㎝,求矩形对角线 D 的长? A

营中寻宝
? 已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝,AD=6㎝,
10 则AC=_______ ㎝

D O

C

A

B

5 OB=_______ ㎝

4 2.若已知 ∠DOC=120°,AC=8㎝,则AD= _____cm
4 3 AB= _____cm

3、 如图(1):已知:在矩形ABCD中,对角
线AC与BD相交于o,∠ ACB=30°,AB=5

㎝,则AC=


㎝,BD=
A D

o
B

图(1)

C

4、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于O,∠BOC=2∠AOB,若AC=6cm,试 求AB的长.

A O B

D

C


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