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无理数

发布时间:2013-09-21 11:25:13  

无理数

无理数的发展简史
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一 无理数的发现
1 毕达哥拉斯学派与无理数的发现 2 欧多克斯比例论 3 东方数学中的无理数 4 面对无理数,中西区别

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二 无理数理论的建立 三 3个特殊的数 教学中学生可能存在的无理数认识误区 整数和无理数发展过程中的数学思维

1 毕达哥拉斯学派与无理数的发现
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无理数最早是由古希腊的毕达哥拉斯学派 发现的。 希伯索斯根据勾股定理,用逻辑推理的办 法发现,边长为1的正方形的对角线长度, 既不是整数,也不是整数比能表示的。 2 与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派 给出的。

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很快人们就发现了除 2 以外的其它一些无 理数,这些发现动摇了古希腊数学信仰的基 础,因此也被称为第一次数学危机。 这一危机因为欧多克斯重新定义比例论而 得到暂时的缓解。

2 欧多克斯比例论
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欧多克斯首先引入了“量”的概念。 这里的量不是数,而是代表诸如线段、角、 面积、体积、时间等。 量与数的不同在于,数是离散的,即可数的,而 量可以是连续的。 欧多克斯由量的概念出发给出了一种新的 比例论。 欧几里得《几何原本》第五卷中引用了这 种比例论.

3 东方数学中的无理数
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与希腊人不同,中国古代数学家是在开方(即解方 程)的过程中遭遇无理数的.最早记录无理数发现 的是《九章算术》 其中“少广”章中的“开方术”和“开立方术” 给出了开平方和开立方的算法。在这种对整数开 方的过程中必然会遇到开方不尽的情况.《九章算 术》对开方不尽的数起了一个新的名字,叫做 “面”.例如面积为2的正方形求边长时,应对2开 平方,而结果是开不尽的,于是称面积为2的正方形 的边长为2“面” 这是中国传统数学中对无理数的最早记载.

4 面对无理数,中西区别
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欧多克斯为了解决不可公度在逻辑上的矛 盾而重新定义了比例,但是这样做的结果是 避免承认无理数是真正的数 中国则从一开始就很坦然地接受了这种新 的数,并且在计算中也很随意地使用它们 在无理数的表示方面做出重大贡献的是中 国古代数学家刘徽(求微数 )

二 无理数理论的建立
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真正的无理数理论发现很迟的原因,在于 一个错误的信念,就是以为分数的序列必 定有极限——罗素

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中世纪过后,欧洲数学逐渐复苏.受到东方数 学的影响,算术和代数的发展首先取得了突 出成就. 到16、17世纪,欧洲人对无理数的使用已经 越来越广泛了,但对无理数究竟是不是真正 的数却产生了分歧.

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荷兰数学家史蒂文(S. Stevin,1548—1620)承认无 理数是数,并用有理

数来逼近它们。 笛卡儿也承认无理数是能够代表连续量的抽象的 数.他使用了坐标来表示无理数,但未给出无理数 的定义。 德国数学家斯蒂弗尔(M. Stifel,1487—1567)在其 著作《整数算术》中讨论用十进小数的记号表示 无理数的问题时,认为无理数不能被准确掌握,因而 不是真正的数。其后的帕斯卡和牛顿等人仍持这 一观点。

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在19世纪,最早对无理数进行处理的是爱尔 兰数学家哈密顿(W. R. Hamilton,1805— 1865).他在1833—1835年发表《代数学作 为纯时间的科学》,把有理数和无理数的全 体一起放在时间概念的基础上。他还提出 用划分有理数的方法来定义无理数,遗憾的 是最终没能完成。

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柯西(Cauchy,1789—1851)在《分析教程》中,用有理数 序列的极限定义无理数。但是他的定义出现了概念定义上 的恶性循环。 1859年魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815—1897)在柏林 的授课中建立了无理数的理论,但是长期以来并没有发表。 1869年法国数学家梅雷(H. C. R. Meray,1835—1911)在有 理数的基础上给出了无理数的一个定义,这个定义与康托 尔(G. Cantor,1845—1918)所给的定义相同。 康托尔在1872年《关于三角级数论中一个定理的推广》中 引入实数概念,用有理数的基本序列来定义无理数。 “基本序列是这样的有理数序列a1,a2,…,an,…,对于任意 给定的整数ε,只要m、n充分大,就有|am-an|<ε。康托尔 证明了每一基本序列都存在极限,该极限或为有理数,否 则,便定义了无理数。”

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目前为大家广泛接受的是德国数学家戴德 金(德狄金)(R. Dedekind,1831— 1916)1872年在《连续性与无理数》中给出 的。 他吸取了柯西的教训,避免用极限方法, 基于对直线连续性本质的认识,采用了几 何观点。他发现,直线上每一分割,都对 应一个实数,反之亦然,就是说直线上的 点构成连续性,但有理数则不能。

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除了这种定义外,史托尔茨(Otto Stolz,1842~1905)在《一般算术教程》中证 明了每一个无理数可以表达成无限不循环 小数 这也是我们今天定义无理数的常用方法

三 3个特殊的数
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Π Φ e

自然对数e
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有一个关于高利贷的故事 商人向财主借钱,条件是每借1元到一年时归还2元, 即年利率为100%。财主想如果每半年结一次账, 利息岂不更多?因为半年的利率是50%,即借一元 到半年时还1.5元,又把1.5元作为本金借给商人,再 过半年,即到了年底,又收利息1.5×50%=0.75(元)。 这样,一年利息是1.25元,比原来的1元利息多了 0.25元。半年结算一次,即一年结算两次,用算式表 示,1元钱到一年时归还(1+1/2)2=2.25(元)。 财主马上又想,如果一年结算3次,4次,…,365次,甚 至

随时结算, 不就发了大财,他便让账房先生算一 算,究竟能发多大的财。

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不论这结算多少次,需归还的钱总不能突破一个上 限,数学家欧拉给这个上限一个专门的名称: e e的定义是作为数列an=(1+1/n)n的极限

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在银行中计算利息: A本利和 P本金 r为年利率 n为一年之内计算利 息的次数 t为存钱的年数

黄金分割φ
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把一条线段分成两个部分,使较长部分与 整条线段之比等于较短部分与较长部分之 比,古希腊人认为这种比例在造型艺术中 具有美学价值,因此称为”黄金分割”, 也称为”中外比”或”黄金律”。这个比 例的数值用希腊字母φ表示。

黄金分割φ
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计算φ的最简单方法,是把斐波那契数列2, 3,5,8,13,21,…,每前后二数之比 2/3,3/5,5/8,8/13,…作为近似值。 现在多将黄金分割应用于优选法,它可以 使我们合理地安排实验,以较少试验次数 找到合理的配方或合适的工艺条件。

教学中学生可能存在的无理数认识误区
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1· 无限小数都是无理数。 2· 带根号的数都是无理数。 3· 无理数都是开方开不尽的数。 4· 无理数就是无理由的数。 5· 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。 6· 无理数与有理数之积必是无理数。 7· 数轴上的点不能表示无理数。

整数和无理数发展过程中的数学思维
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在数学史上,虽然无理数的发现是一件大事,构成了第一次 数学危机,导致了数域的扩大,为数的概念的发展起了重要 作用,但它的产生过程经历了太多的艰难与曲折.回顾和探索 这一阶段,既是体会其产生过程中所包含的数学思维,也是 提醒人们:对数学中的新事物,新情况,不要采取视而不见、 一味保守、拒绝,甚至反对的非理性态度.批判性、反思性和 创造性的数学思维,恰恰是数学发展的重要动力.在我国, 《九章算术》“少广”章中就提到了开方术,却称“若开之不 尽者,为不可开,当以面命之”.刘徽在计算近似平方根时求 得的数,离“无限不循环小数”已经近在咫尺,但因为我国 古代历来重视计算,讲究解决实际问题,而轻视算理探究, 所以在刘徽看来,开不尽的数是“不足言之也”,使得我国 与无理数迎面却失之交臂,可惜可叹!此憾足以说明,数学 思维中的批判性、反思性、创造性,往往是取得重大数学发 现的必要条件. ——李耀光、 何小亚


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