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5.5直线和圆的位置关系(3)

发布时间:2013-12-17 10:30:13  

切线的判定方法有三种:

①直线与圆有唯一公共点; ②直线到圆心的距离等于该圆的半径;
③切线的判定定理:经过半径外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线.

1、定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的 切线。 3、判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线。

有切点,连半径,证垂直

无切点,作垂直,证半径

注:①若直线与圆的一个公共点已指明,则连接这点
和圆心,说明直线垂直于经过这点的半径; ②若直线与圆的公共点未指明,则过圆心作直线的垂线 段,然后说明这条线段的长等于圆的半径.

如图,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线L是不 是一定垂直呢?你能说 明理由吗?
一定垂直

反证法

.

O

L AB

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
?

老师提示: ?切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点 的半径是常用经验辅助线之一.

例:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点 分别为A、B,C是⊙O上一点,若 ∠APB=40°,求∠ACB的度数。
A

P

· O
B

C

变:已知PA、PB是⊙O的切线,切点分别
为A、B,C是⊙O上一点(不与A、B重合), 若∠APB=40°,求∠ACB的度数。
A

P

C′

· O
B

C

如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于 点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断 △AED的形状,并说明理由.

1 2

(三)课堂练习:
1.如图,直线l切⊙O于点P, 弦AB∥l,AB交OP于点C, 求证:AC=BC

O

A

C P

B
l

2.如图,直线AT切⊙O于 点A, AB⊥AT,交⊙O于点B,BT交 ⊙O于点C. 已知∠B=300, B AT= 3 ,求⊙O的直径和弦BC 的长.

C T

O

A

1、切线和圆只有一个公共点。
2、切线和圆心的距离等于半径。

3、切线垂直于过切点的半径。
练习:书P131 P136 1、2 4、5

如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC交 AB于D,若OA⊥OC,CD=CB,CB是⊙O 的 切线吗?为什么?
变:如果CD⊥OA,OC 向上移动与OA相交,其 它条件不变,则CB是 ⊙O的切线吗?
A

O

·

D

C

B

如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC交 AB于D,若OA⊥OC,CD=CB,CB是⊙O 的 切线吗?为什么?
变:如果CD⊥OA,OC 向上移动与OA相交,其 它条件不变,则CB是 ⊙O的切线吗?
A E O

·

D

C

B

如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC交 AB于D,若OA⊥OC,CD=CB,CB是⊙O 的 切线吗?为什么? E
D

C

变:如果CD⊥OA,OC 向上移动与OA相交,其 它条件不变,则CB是 ⊙O的切线吗?

A

O

·
B

切线的判定方法有三种: ①直线与圆有唯一公共点; ②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ③切线的判定定理:经过半径外端并且垂 直于这条半径的直线

是圆的切线.
1、切线和圆只有一个公共点。
2、切线和圆心的距离等于半径。

3、切线垂直于过切点的半径。

再变:如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点, OC交AB于D,若OA⊥OC,CB是⊙O 的切线。 则 CD=CB吗?为什么?
再变:如果CD⊥OA, OC向上移动与OA相交, 其它条件不变,则 CD=CB吗?
A

O

·

D

C

B

如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC交 AB于D,若OA⊥OC,CB是⊙O 的切线。则 CD=CB吗?为什么?
再变:如果CD⊥OA, OC向上移动与OA相交, 其它条件不变,则 CD=CB吗?
A E O

·

D

C

B

如图,AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,OC交 AB于D,若OA⊥OC,CB是⊙O 的切线。则 CD=CB吗?为什么? E
D

C

再变:如果CD⊥OA, OC向上移动与OA相交, 其它条件不变,则 CD=CB吗?

A

O

·
B

已知:如图,AB=AC,以AB为直径的圆与 底边BC相交于点D,DE⊥AC。求证: (1)DE是⊙O的切线。 (2)CD2=CE· AB
O A

.
E D C

B

已知:如图,AB=AC,以AB为直径的圆与 底边BC相交于点D,DE⊥AC。求证: (1)DE是⊙O的切线。 (2)CD2=CE· AB 变:如果点O沿 AB方向移动,以 OB为半径画圆, 其他条件不变, 则DE是⊙O的切 线吗?
O

A

.
D

E

B

C

例: 如图,AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相 切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC. 求证:DC是⊙O的切线.
D 证明:连结OD 1 3 ∵OA=OD∴∠1=∠2 2 4 又∵AD∥OC∴ ∠1=∠3,∠2=∠4, A O ∴ ∠3=∠4. 又∵OD=OB,OC=OC ∴△ODC≌ △OBC. ∴ ∠OBC=∠ODC. 又∵BC切⊙O于B, ∴∠OBC=Rt∠ ∴ ∠OBC=∠ODC =Rt∠, ∴ OD⊥CD,
∴DC是⊙O的切线.

C

B

如图:两个同心圆圆心为O,大圆的弦AB切小圆于点C。 (1)求证:点C是线段AB的中点。 (2)若大圆的半径是5,小圆的半径是3,则AB 的长度是多少?

.O
A C B

如图:两个同心圆圆心为O,大圆的弦AB切小圆于点C。 (1)求证:点C是线段AB的中点。 (2)大圆的半径是5,小圆的半径是3,则AB的长度是 多少? (3)如果AB=4cm,求圆环的面积。

.O
A C B

如图:两个同心圆圆心为O,大圆的弦AB切小圆于点C。 (1)求证:点C是线段AB的中点。 (2)大圆的半径是5,小圆的半径是3,则AB的长度是 多少? (3)如果AB=4cm,求圆环的面积。 (4)圆外有一点P,作小圆的切线PD,大圆的切线PF, 点G为OP的中点,求证;DG=FG P

D
G F A

.O
C B

如图,BC为⊙O的切线,AB为直径, CD=1,BC= 3 (1)求⊙O的半径 (2)取BE的中点F,连结DF。 求证:DF与⊙O相切。
A

D

.O
F B

C

E

3 x ? 3, 已知:直线 y ? ? 3

⊙M的圆心M的坐标为(a,0),半径 为1, ⊙M与直线相切,求a的值。

随堂练习

切线的性质定理的应用
?

驶向胜利 的彼岸

1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距 离为5,求r的取值范围

..
r


O































B
?

C

2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离 是多少?. ?老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行 的一条线段,其长度等于圆的周长.

结束寄语
?

下课了!

具有丰富知识和经验的人,比 只须一种知识和经验更容易产 生新的联想和独到的见解。


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