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5.3圆周角(2)

发布时间:2013-12-17 10:30:18  

一、旧知回放:
1、圆周角定义:
顶点在圆上, 并且两边都和圆相 交的角叫圆周角. 特征:

① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.

4

2、圆心角与所对的弧的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角, ②两条弧, ③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各 组量都分别相等。

圆心角的度数与它所对弧的度数相等.
3、圆周角与所对的弧的关系
用于找相等的角

同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧 度数的一半。

同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
用于找相 4、同弧(或等弧)所对的圆心角与圆周角的关系 等的弧

同弧(或等弧)所对的圆周角等于 其所对的圆心角的一半。

课前测验

1、100o 的弧所对的圆心角等于_______,所对的圆周角 100o 等于_______。 50o 2、一弦分圆周成两部分,其中一部分是另一部分的4倍, 36o 或144o 则这弦所对的圆周角度数为________________。 64o 3、如图,在⊙O中,∠BAC=32o ,则∠BOC=________ 4、如图,⊙O中,∠ACB = 130o ,则∠AOB=______。 100o A 5、下列命题中是真命题的是( ) D (A)顶点在圆周上的角叫做圆周角。 O B (B)60o 的圆周角所对的弧的度数是30o (C)一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 C (D)120o 的弧所对的圆周角是60o O
A
B C

问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E 问题2、如图2,BC是⊙O的直径,A是⊙O上任一点, 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90o
问题3、如图3,圆周角∠BAC =90o ,弦BC经过圆心O 吗?为什么? A D A
B


E

O
C

B

O

C

B



O

C

A

图1

图2

图3

例题讲解



如图,已知AB是⊙O的直径,C A . B O 是⊙O上不同于A,BD的任意一 点,连接AC,BC。求证:∠C . D 是直角。 因为 证明: ∠ C是半圆弧ADB所对的圆周角,弧ADB所对的圆
心角是平角AOB, 所以 ∠ C=1/2∠ AOB=1/2× 180°=90°(圆周角 定理) 即 ∠ C是直角. C 反之,若已知∠ C是直角, ∠ C的两边 结论: 交⊙O于A,B,连结AO,BO, 直径(或半圆) ●O A 则 ∠AOB=2 ∠ C=2 × 90°= 180°.所对的圆周角是B

所以,A,O,B同在一直线上,
AB是⊙O的直径。

直角; 90°的圆 周角所对的弦是 直径。 图3

总结:

用于判断某个圆 周角是否是直角
C

直径(或半圆)所对的圆周 角都是直角。 90°的圆周角所对的弦是圆 的直径。

A

B
O

用于判断某条 线是否过圆心

回顾:

用于判断某个圆 遇直径 周角是否是直角 找直角
C

直径(或半圆)所对的圆周 角都是直角。 90°的圆周角所对的弦是圆 的直径。

A

B
O

用于判断某条 遇直角 线是否过圆心 找直径

例1、如图,AB

是⊙O的直径,弦CD与AB相交 于点E,∠ACD=60°, ∠ADC=50°。

求∠CEB的度数。
C E D

A

O

.

B

例2、如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,AD 是 △ABC 的高,AE是⊙O 的直径。

①△ABE与 △ADC相似吗?为什么?
②若AB=10,AC=8,AD=5, 你能求出⊙O 的半径吗?
B

A O·

D

③若AB+AC=12,且AD=3,设⊙O 的 E 半径为y,AB的长为x。求y与x的函数 关系式

当AB长为多少时, ⊙O 的面积最大?



C

例3

已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证:⌒ ⌒ BD=DE

A E

证明:连结AD. ∵AB是圆的直径,点D在圆上, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC, ∵AB=AC, B

D

C

∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD, ∴ BD= DE ⌒ ⌒ (同圆或等圆中,相等的圆周角所 对弧相等)。

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.

A

B

一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
D

A

B

练习:书P121练习 1-3 作业:书P123 6-10

如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒ AC 上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F, 连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的 角,并说明理由.
F G
C E

O A

B

D

2,已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC 交BF于点M,过A点作AD⊥BC于D,交 BF于E,则AE与BE的大小有什么关系? 为什么? F
A M E B D O C

练习:如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证:△ABC是等边三角形 A 证明:∵∠ABC和∠APC P 都是⌒所对的圆周角。 AC · ∴∠ABC=∠APC=60° O C (同弧所对的圆周角相等) B

同理,∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角, BC ∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。

例3: 船在航行过程中,船长常常通过测定 角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示 灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形 区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就 是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时,就有可能触礁。 P
弓形所含的圆周角 ∠C=50°,问船在航 行时怎样才能保证不 进入暗礁区?
E C

O

A

B

(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时,船位于哪个区域?为什么?
P E C

O

A

B

1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD
D C

A
B

1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO 的中点,DE // AB,求证:EC=2EA. C E A

D
O B

小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识?

2、圆周角定理及其推论的用途你
都知道了吗?


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