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湘教版数学9年级上册同步知识详解精练

发布时间:2013-12-17 11:32:08  

目录

第1章 一元二次方程 ................................................................................................................... 2

第1节 建立一元二次方程模型 ................................................................................................... 2

第2节 解一元二次方程的算法 ................................................................................................... 4

第3节 一元二次方程的应用 ....................................................................................................... 6

中考链接........................................................................................................................................... 8

单元检测......................................................................................................................................... 11

第2章 定义命题公理与证明 ..................................................................................................... 14

第1节 定义 ................................................................................................................................. 14

第2节 命题 ................................................................................................................................. 15

第3节 公理和定理 ..................................................................................................................... 18

第4节 证明 ................................................................................................................................. 19

中考链接......................................................................................................................................... 22

单元检测......................................................................................................................................... 24

第3章 相似形 ............................................................................................................................. 28

第1节 相似的图形 ..................................................................................................................... 28

第2节 线段的比 ......................................................................................................................... 31

第3节 相似三角形的性质和判定 ............................................................................................. 33

第4节 相似多边形及性质 ......................................................................................................... 36

第5节 图形的放大与缩小,位似变换 ..................................................................................... 38

中考链接......................................................................................................................................... 40

单元检测......................................................................................................................................... 42

第4章 锐角三角函数 ................................................................................................................. 46

第1节 正弦和余弦 ..................................................................................................................... 46

第2节 正切 ................................................................................................................................... 50

第3节 解直角三角形及其应用 ................................................................................................. 53

中考链接......................................................................................................................................... 58

单元检测......................................................................................................................................... 61

第5章 概率的计算 ..................................................................................................................... 65

第1节 用频率估计概率 ............................................................................................................. 65

第2节 用列举法计算概率 ......................................................................................................... 68

中考链接......................................................................................................................................... 71

单元检测......................................................................................................................................... 74

期中测试......................................................................................................................................... 77

期末测试......................................................................................................................................... 80

参考答案......................................................................................................................................... 82

第1章 一元二次方程

单元目标

1.掌握一元二次方程概念;

2.学会解一元二次方程的方法;

3.能解出一元二次方程应用题.

第1节 建立一元二次方程模型

要点精讲

(一)一元二次方程的概念

1. 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的整式方程,叫一元二次方程。

2. 满足一元二次方程的三个条件:

(1)整式方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的最高次项的次数为2,且该系数不能为0。

3. 能准确判断一元二次方程

1?2x2?3?0,x2?2x?x2?x?3x

222 2x?5x?y?0,kx?2x?3?0(k为常数)

22 3x?2x?2?0,2x?1

(二)一元二次方程的一般形式:ax2?bx?c?0(a?0) 如: 1. a≠0是一元二次方程成立的先决条件。

2. 一般形式中各部分的名称:

2 ax——二次项,其中a是二次项系数

bx——一次项,其中b是一次项系数 c——常数项

3. 任何一个一元二次方程经整理后都能化为一般形式

我们只强调a≠0,才是一元二次方程,但b、c可为0。

如:形如ax?bx?0(a?0),ax?c?0(a?0),ax?0(a?0)等都是一 元二次方程。

222

典型例题

【例1】将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.

【答案】二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22

【解析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程(8-2x)?(?5-2x)

=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号.移项等.

解:去括号,得:

40-16x-10x+4x2=18

移项,得:4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22.

【例2】将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项.二次项系数;一次项.一次项系数;常数项.

【答案】二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4

【解析】通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.

解:去括号,得:

x2+2x+1+x2-4=1

移项,合并得:2x2+2x-4=0

其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4.

针对训练

1.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.

2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?

(1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0

4.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,?这块铁片应该怎样剪? 设长为xcm,则宽为(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题:

(1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说说你的理由.

(2

(3

5.解方程:x2+4x+4=1

第2节 解一元二次方程的算法

要点精讲

1. 因式分解法:

当一元二次方程一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时,可以使每个一次因式为0,分别解出两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解。 这种方法我们称之为因式分解法。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

(1)将方程的右边化为0。

(2)将方程的左边分解成两个一次因式的积。

(3)令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程。

(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解。

2. 直接开平方法:

这种方法适合解左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的方程,即形如(x+a)2=b(b≥0)的方程。

直接开平方法的步骤:

(1)用完全平方公式将方程化为?x?a??b(b?0)的形式; (2)方程两边开平方得:x?a??b

(3)求得原方程的解:x1?a?b,x2?a?b

强调:当b<0时,负数平方根,即方程(x+a)2=b无实数解。

3. 配方法:

把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程通过配方变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式,然后用直接开平方法解一元二次方程,这种解一元二次方程的方法叫配方法。 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,同时在数学的其它方面也有重要的应用。 2

配方法的理论依据是完全平方式:a2?2ab?b2?(a?b)2

用配方法解一元二次方程的一般步骤:

(1)化二次项系数为1

(2)移项:使方程左边只有二次项和一次项,常数项在右边。

(3)配方:在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

(4)方程变形为(x+m)2=n的形式

如果n?0,得x?m??n,可得解;

如果n?0,原方程没有实数根。

4. 公式法

公式法是求根公式解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 即方程有解的条件是:b2-4ac≥0

如果b2-4ac<0时,该一元二次方程没有实数根,在应用公式解一元二次方程时,也应将方程化为一般形式。

用求根公式解一元二次方程的一般步骤: ?b?b2?4ac2求根公式:x?(b?4ac?0)2a

(1)把一元二次方程化成一般形式;

(2)确定公式中a、b、c的值;

(3)求出b2-4ac的值。

(4)若b2-4ac≥0,则把a、b、c及b2-4ac的值代入公式即可求解;若b2-4ac<0,此时方程无实数根。

典型例题

【例1】解方程:x2+4x+4=1

【答案】x1=-1,x2=-3

【解析】很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1. 解:由已知,得:(x+2)2=1

直接开平方,得:x+2=±1

即x+2=1,x+2=-1

所以,方程的两根x1=-1,x2=-3

【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.

【答案】20%

【解析】设每年人均住房面积增长率为x.?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解:设每年人均住房面积增长率为x,

则:10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接开平方,得1+x=±1.2

即1+x=1.2,1+x=-1.2

所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.

所以,每年人均住房面积增长率应为20%.

针对训练

1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.

2.解下列关于x的方程

(1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0

3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二.三月份营业额平均增长率是多少?

4.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P.Q同时由A,B?两点出发分别沿AC.BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,?几秒后△PCQ?的面积为Rt△ACB面积的一半.

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