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八年级数学上册_梯形常用辅助线课件_北师大

发布时间:2013-12-17 11:32:11  

梯形中常见辅助线

预习反馈:
1根据转化思想,梯形的问题应该转 化成什么图形的问题去解决? 2梯形常用的辅助线有哪些? 它们各自的作用是什么?

当堂导学 一、延长两腰,将梯形转化成三角形.
例一:如图,梯形ABCD中,AD∥BC, AD=5,BC=9,∠B=80°,∠C =50°.求AB的长.
解:延长BA、CD交于点E 因为 AD∥BC, 所以 ∠ADE=∠C=50°. 因为 ∠E=180°-∠B- ∠C=50°, 所以 ∠E=∠ADE=∠C.

E
5

50° 5 50° D 50°

A

所以 AE=AD=5,BE=BC=9. 80° 所以AB=BE-AE=9-5=4. B

9

C

当堂导学
A
B D

二、平移一腰,梯形转化成:平行四边形 和三角形.
把上下底之差、两腰转化到同一个三角形中。可利用三角 形知识解决问题。

F

C

还有其它的平移一腰的方式吗?

当堂导学
例2 如图,梯形ADCB中,AD∥BC,BC=

8cm,AB=7cm,AD=6cm,求DC的取值 范围. 若DC为奇数,则梯形是什么梯形?
解:过点D作DE ∥AB交BC于E

6
7 7 6 2 E 8

因为 AD ∥BC,所以四边形ABED为 平行四边形。 所以AD=BE=6,AB=DE=7,CE=2。 在△CDE中,DE-CE<DC<DE+CE, 所以5cm<DC<9cm. 当DC为奇数时,DC=7cm,

梯形ABCD为等腰梯形。

当堂导练
例二变式训练: 梯形ABCD周长为30cm,AD=5cm,求 △ DEC的周长。 解:过点D作DE ∥AB交BC于E 因为 AD ∥BC, 所以四边形ABED为平行四边形。 所以AD=BE=5cm,AB=DE △ DEC周长=梯形ABCD周长-2AD

= 20cm

△ DEC周长=梯形ABCD周长-2AD

当堂导学

平移两腰,将两腰转化到同一个三角形中

例三:在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,E、F分 别为AD、BC的中点,且EF⊥ BC,梯形ABCD 是等腰梯形吗?为什么?
答:是等腰梯形 证明:过点E作EM ∥AB,EN ∥CD交 BC于点M、N。 因为AD ∥BC,所以四边形ABME与 CDEN都是平行四边形 M N 所以AB=EM,CD=EN 因为E、F分别为AD与BC的中点 所以BF=CF,AE=DE=BM=CN, 所以MF=NF 因为EF⊥ BC,所以EF为MN中垂线,所经EM=EN 所以AB=CD,梯形ABCD为等腰梯形。

当堂导学 三、作梯形的高,梯形转化
成矩形与直角三角形

E

当堂导学
例四:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,

AB=DC=AD=5,BC=11;求梯形ABCD的面积.

A
5

5

D
5

解:过点A作AE⊥BC于点E,过点D作 DF⊥BC于点F 又因为AD ∥BC,可证得四边形ADFE为矩形。 所以AD=EF=5,BE+FC=11-5=6 又因为AB=DC=5 所以Rt△ABE 与Rt△DCF全等(HL定理) 所以BE=CF=3 所以AE= 所以梯形面积=32

BE

11

F C

2 2

当堂导练

例四变式训练

已知:梯形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°, BE⊥CD,AD=1,CD= 2 2 求:BE

E

F

当堂导学
四、利用中点,割补三角形

(1)延长DE与CB相交于点F 证△AED与△BEF 全等 (2) 将△AED绕点E旋转180°,到△BEF的位置, △AED与△BEF关于点E中心对称,故EF=ED,AD=BF. S梯形ABCD=S△DCF=2倍S△DCE

当堂导学
例五 如图梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的

中点,DE⊥CE.

试说明CD=BC+AD.

(1)证明:延长DE与CB相交于点F 可证得△AED与△BEF 全等,得到DE=FE AD=BF 又因为DE⊥CE,所以CE为DF中垂线 所以CD=CF=BC+AD (2)证明:将△AED绕点E旋转180°, 到△BEF的位置 △AED与△BEF关于点E中心对称,故EF=ED,AD=BF.

又因为CE⊥DF,故CD=CF=BC+BF=BC+AD

当堂导练
变式训练:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是DC的 中点,EF⊥AB于点F。求证:S梯形ABCD=AB×EF.

A F

D E

B

C G

当堂导学
五、平移对角线,将梯形转化成:
平行四边形、三角形.
1、把上下底之和,两对角线转 移到同一个三角形BDE中 2、△ABD与△CDE面积相等

S梯形ABCD=S△BDE
3、 BD⊥AC推出BD⊥DE得到直角三角形BDE

当堂导学
例六:如图所示,在梯形ABCD中,上底AD=1cm,

对角线BD⊥AC,且BD=3cm,AC=4cm.
求下底BC以及梯形的高。
1
3 4 4 F 4 1 5 解:过点D作DE ∥AC交BC延长线于E 因为AD ∥BC,所以得证□ADEC 所以AD=CE=1,AC=DE=4 因为BD⊥AC ,所以BD⊥DE 所以BE=5(勾股定理)得BC=4 作DF⊥BC于点F 因为BD*DE=BE*DF 所以得出DF=2.4

能求出梯形ABCD的面积吗?有几种方法?

1 2

当堂导练

例六变式训练

梯形ABCD中,AD ∥BC,AE ⊥BC,AE=12,BD=15, AC=20,求梯形ABCD面积 解:过点D作DF ∥AC交BC延长线于F 作DM ⊥BC于点M 因为AD ∥BC,所以得证□ADFC 所以AD=CF ,AC=DF=20 因为DM⊥BC ,DM=AE=12 F 所以BM=9,FM=16(勾股定理) 所以BF=9+16=25=BC+AD 所以梯形面积 =(AD+BC)*DM/2

12 15 E

20 M

20

=150

课后小结:
你能总结梯形中常见辅助线吗? 在这其中,体现了什么数学思想? 你有何体会可以与大家一同分享呢? 作业:导义(梯形二)

师生共勉

把一件平凡的事情做好就是不平凡 把一件简单的事情做好就是不简单


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