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13.5.2线段的垂直平分线

发布时间:2013-12-17 13:29:26  

动手操作:作线段AB的垂直平分线MN,
垂足为C;在MN上任取一点P,连结PA、PB; M P

量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
PA=PB P1A=P1B ……

由此你能得到什么规律?
线段垂直平分线上的点到线 段两端的距离相等。
A C P1 B

N

2

求证:线段垂直平分线上的点到条线段两端的距离相
等。 M

已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB,点P在MN上. 求证: PA=PB
证明:∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB =90° 在 ΔPAC和Δ PBC中, AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC(SAS) ∴PA=PB

P

A

C

B

N

3

线段的垂直平分线的性质定理:
线段的垂直平分线上的点到线段的 两端的距离相等.
几何语言: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 或

P

M

A

∵ MN⊥AB于C, AC=CB,点P在MN上

N

B

∴PA=PB

随堂练习
C E A B

1.在△ABC中,∠ACB=90°, AB=8cm,BC的垂直平分线DE 4cm 交AB于D点,则CD=____

D

2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC,则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.

线段的垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等.
逆 命 题

到线段的两端距离相等的点在条线 段的垂直平分线上.

求证:到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 已知:如图, PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直平分线上

证明:过点P作PC ⊥AB 于C 则 ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 RtΔPAC和RtΔ PBC中, PC=PB
PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC(HL) ∴AC=BC A ∴直线PC垂直平分线段AB 即点P在线段AB的垂直平分线上

P

C

B

随堂练习
A D E C

B
E

3、在△ABC中, AB=AC,AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°, 700或20 则∠B=______. 0
C

A D B

求证: 三角形三边垂直平分线交于一点,且这一点 到三角形三个顶点的距离相等。 已知:如图,在ΔABC中,边AB,BC的垂直平分线交于P. 求证:点P也在边AC的垂直平分线上,且PA=PB=PC;
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上,
M
M’ A

∴PA=PB(?).
同理 PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P也在边AC的垂直平分线上,且 PA=PB=PC
B

P
C N

N’

练习1 已知:如图, AC=AD,BC=BD,点E在AB上. A 求证:EC=ED. 证明: ∵AC=AD(已知)
∴点A在线段CD的垂直平分线上. ∵BC=BD(已知) C 同理可证,点B在线段CD的垂直 平分线上. B ∴AB是CD的垂直平分线.(两点确定一条直线) ∵点E在AB上.(已知) E D

∴EC=ED.

总结:
线段垂直平分线 上的点到这线段 两端的距离相等. 性质定理可以用来 证明两条线段相等 (或三角形是等腰 三角形).

逆命题

到线段的两端距离相等 的点在线段的垂直平分 线上.
逆定理可以用来证明 点在直线上(或直线经 过某一点).

线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相 等的所有点的集合

练习3、在△ABC中,已知A

B的垂直平分线交AC 于E,△ABC和△BEC的周长分别为24cm和 14cm.求AB的长。
A

F
E

B

C

实际问题1
张店区政府为了方便居民的生活,计划 在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购 物中心,试问,该购物中心应建于何处, 才能使得它到三个小区的距离相等。

A

B

C

实际问题
1、求作一点P,使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.

数学化
A

实 际 问 题

1

B

p

C

PA=PB=PC

A

实际问题2
在京珠高速公路的同侧,有两个化工 厂A、B,为了便于两个工厂的工人看 病,市政府计划在公路边上修建一所 医院,使得两个工厂的工人都没意见。 医院的院址应选在何处?

B

L

京珠高 速 公 路

实际问题
2、如图,在直线l上求 作一点P,使PA=PB.
l A

数学化
实 际 问 题

2
B

P

PA=PB
数学问题源于生活实践,反过来数学又为生活实践服务

请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容? 线段的垂直平分线 (1)线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等. 格式:∵MN⊥AB,AC=BC(已知) ∴PA=PB(…) (2)到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.

格式:∵QA=QB(已知)
∴点Q在AB的垂直平分线上(…) (3)线段的垂直平分线可以看作是到这条线段的两个端点的 距离相等的点的集合.

课堂练习:
1、如图,在ΔABC中,AD⊥BC于D, AB+BD=DC。 试问:∠B与∠C是什么关系?
2、在V型公路(∠AOB)内部, 有两个村庄C、D。你能选择一个 纺织厂的厂址P,使P到V型公路的 距离相等,且使C、D两村的工人 上下班的路程一样吗? A

O

.
C

.
D
B

练习2:
如图: 已知:AB=AC,∠A=120度,EF 是AB的垂直平分线 求证:BF=1/2FC 证明:连结AF。 ∵ AB=AC(已知) ∴∠ B=∠C(等边对等角) B E

A

F

C

∴FA=FB(?) ∴∠BAF=∠B=30度(等角对 等边) ∴∠FAC=90度

又∵∠BAC=120度(已知)

又∵ ∠ C=30度(已证) ∴∠B=∠C=30度(三角形内角和定理) ∴ AF=1/2FC(? ) ∵EF是AB的中垂线(已知) ∴ FB=1/2FC

练习4、已知:如图, △ABC中,AD是角平分线, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:AD垂直平分 EF.

A

E B D

F C


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