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13.3.1_等腰三角形的性质_课件

发布时间:2013-12-17 13:29:30  

动手做一做
如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪 去阴影部分,再把它展 开,得△ABC,
B

A C

D

探索:

AC和AB有什么关系?这个三角形有 什么特点?

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A



顶 角



只有等腰三角 形才有底角和 底边.

底角

底角

B
底边

C

等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边 叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹 角叫做底角.

小试牛刀
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长 是
10 cm



2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm, 则它的周长是 10 cm 或 11 cm ;
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 19 cm 则它的周长是 。

等腰三角形是轴对称图形吗?
※等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线 所在的直线。

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出其中重合的线段和角.

重合的线段

重合的角

A

AB=AC BD=CD AD=AD

∠B = ∠C.
∠BAD = ∠CAD ∠ADB = ∠ADC
B D C

大胆猜想
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?

猜想与论证
猜想
等腰三角形的两个底角相等。 已知:△ABC中,AB=AC
A

求证:∠B=?C
分析:1.如何证明两个角相等?

B
D

C

2.如何构造两个全等的 三角形?

A
证明: 作顶角的平分线AD,
则有∠1=∠2

12

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D ∠1=∠2 AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SAS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD=CD

在△ABD和△ACD中 AB=AC C B D BD=CD AD=AD (公共边) ∴ △ABD≌ △ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

A
证明: 作△ABC 的高线AD
则有 ∠ADB=∠ADC =90o 在Rt△ABD和Rt△ACD中 AB=AC (公共边)B AD=AD

D

C

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL) ∴ ∠B=∠C (全等三角形对应角相等)

猜想与论证
猜想 性质1
等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) 已知:△ABC中,AB=AC
A

求证:∠B=?C 分析:1.如何证明两个角 相等?

B
D

C

2.如何构造两个全 等的三角形?

例1 在三角形ABC中,已知AB=AC, 且∠B=80° ,则∠C= ___度, ∠A=____度? A
∵AB=AC(已知)

∴∠B=∠C(等边对等角)
∵∠B=80° (已知) ∴∠C=80° 又∵∠A+∠B+∠C=180° (三角形内角和为180° ) ∴∠A=180°- ∠B-∠C ∠A=20° B C
?

小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 75°, 角为_____ 30° __; ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 70°,40°或55°,55° 为___________________; ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 35°,35° 为______ __。

想一想:
刚才的证明除了能得到∠B=∠C 你还能发现什么?
重合的线段 AB=AC 重合的角
A

∠B = ∠C.
∠BAD

= ∠CAD
∠ADB =∠ADC =90°
B D C

BD=CD
AD=AD

是真是假
性质2
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线, 底边上的高互相重合 A

(等腰三角形三线合一)
几何语言: 在△ABC中,AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC 1 2 1 2 1 = ∠ 2 ,____= DC 。 BD 1 ∴∠ 2、∵AD是中线, ∴ AD ⊥ BC ,∠ 1 =∠ 2 。 B 3、∵AD是角平分线, D BD ∴ AD⊥ BC , = DC 。 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线(顶角 平分线,底边上的高)所在直线

C

A

例2:AB =AC, BD ⊥ AC于点D, 求证:∠BAC=2∠DBC

?

D

B

C

E

如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且 求△ABC各角的度数。
A

BD=BC=AD,

解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD (等边对等角)
D 2x

2x B C

⌒ x

设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,

于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°,

在△ABC中, ∠A=36°, ∠ABC=∠C=72°

轴对称图形

性质1:等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”,前提是在同一个三角形
中。)

性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高互相重合。 (简称“三线合一”,前提是在同一个等腰三角形
中。)


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