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1.2 二次根式的性质1

发布时间:2013-12-17 15:35:15  

1.2 二次根式的性质(1)

合作学习: 已知下列各正方形的面积,求
其边长.
面积2 面积5 面积7

2

5
2

7

( 2) ? 2
你能猜想

( 5) ? 5
2

( 7) ? 7
2

( a) ? ?
2

一般地,二次根式有下面的性质:

?

a

?

2

? a ? a ? 0?

口答:

? 2? 2 ? 1? 1 2 ?1? 3 ? ______, ? 2? ?? ?? ? ______, ?3? ?? 2 ?? ? ________, 3 7 3 7? 3? ? ?

? ?

2

2

2

? 2? 2 ? ? 4? ? 5 ? ________, ?5? ? ?? ? ?? ? ________. 5 3 ? 3?

? ?

2

2

2 2 ? ___,
2

? ?5?
2

2

5 ? ___,

请比较左右两边的式子,想一想:

0 ? ___, 0
2

2 | 2 |? ___; | ?5 |? ___; 5 | 0 |? ___ . 0

1、 a 与 | a | 有什么关系?
2、当 a ? 0 时, a2 ? ____; a

当 a ? 0 时, a 2 ? ____. ?a

一般地,二次根式又有下面的 性质:

0

2
3

2 3

a ? |a|
2

( a ) 与 a 有区别吗?
2 2

1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看, 2 2 a 先开方,后平方 a a≥0

? ?
a
2

? ?
a
2

先平方,后开方

a取任何实数

3.从运算结果来看:

? a?
a
2

2

=a
a (a≥ 0) -a (a<0)

=∣a∣ =

例1、计算: (1) (2)

二次根式性质1:

? 8?

2

?
2

a

?

2

? a ? a ? 0?
a ? a ? 0 ?? a a?0

二次根式性质2:

(?1.5)

a ?| a |?
2

解:(1)

? 8?

? a ??a ? 0 ?? ? a( a ? 0) ?

2

=8

(2) (?1.5) 2 =∣-1.5∣=1.5

例2、计算:

(1)

(?10 ) ? ( 15 )
2

2

(2) [ 2 ? (?2) ] ? 2 ? 2 2
2

(3)

(? 7 ) ? 25 ? (? 9 )
2

例3 计算:

二次根式性质1:

3 2 2 4 2 ( ? ) ?| ? | 5 3 5 3

?

a

?

2

? a ? a ? 0?

二次根式性质2: a ? a ? 0 ?? a ?a ? 0 2 a ?| a |? ? a ??a ? 0 ?? ? a( a ? 0) ?

例3 、计算:

?1? ? 2?

4 2 ?3 2? ? ? ? ? | ? |; 5 3 ?5 3? ? 2 3? ?4 3? ? ? ? ? ? ? ? . ?7 5? ?5 7?
2 2

2

做一做
(1) 数

a
-1

在数轴上的位置如图,则
0

a
-2

(2)如图, P 5, 2 是直角坐标系 中一点,求点P到原点的距离. y
2

?

1

?a a ? _____ .
2

?

3

P

?

5, 2

?

0

5

x

做一做 2 2.若 (1 ? x ) ? 1 ? x,则x的取值范围为
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数

(

)

做一做
3、计算:
(1) (?7) ? ( 7 )
2
2

2

(2) (? 11 ) 2 ? (?13) 2
2

(3) (? 5 ) ? 16 ? (?2)
2 2

2 2 1 2 (4) ( ) ? 0.1 ? 5 4

(5) ( a ) ? a (a ? 0) (6) ( 4 ? 1 ) 2 ? ( 4 ? 1) 2
7 2 7

(7) 3( 3 ?1) ? 3

二次根式的性质及它们的应用:
(1) a ?

? a ? , ( a ? 0)
2 2

a ( a >0 ) 2 (2) a2 ? a ? 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )

例4、化简:
(1)

2

4

(2)

a

4

(3)

ab

2 2 ( a<0,b>0)

(4)

1 ? 2a ? a
2

2 (a>1 )

(5)

(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 1)
+

2

(6)

(1<x<3 )

课外拓展
已知:x<0,化简 16x2
解: 16x2 = (4x)2 =|4x|

∵x<0 , ∴4x<0, ∴原式 = - 4x

一练: x2-6x+9 + x2+2x+1

( -1<x<3 )

解:原式 =

(x-3)2 +

(x+1)2

= |x-3| + |x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3<0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4

( 4 ? x ) ? x ? 10x ? 25
2 2


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