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)24.2.1点和圆的位置关系(人教版九年级数学上)

发布时间:2013-12-18 09:32:52  

人教版九年级数学上

24.2.1点和圆的位置关系

我国射击运动员在奥运会 上屡获金牌,为我国赢得荣誉, 右图是射击靶的示意图,它是 由许多同心圆(圆心相同,半 径不等的圆)构成的,你知道 击中靶上不同位置的成绩是如 何计算的吗?

解决这个问题要研究点和圆的位 置关系.

我们不妨取其中的一个圆来研究:如图

请说出点与圆有几种位置关系?

点在圆外 点在圆 上

点在圆内

思考:平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分?

圆外的点

圆上的点

圆内的点

平面上的一个圆,把平面上的点分成三类:圆上的 点,圆内的点和圆外的点。 圆的内部可以看成是 到圆心的距离小于半径的点的集合 ; 圆的外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的集合 。

点与圆的位置关系
d

P3

R>d

点在圆内
d P2 O d P1 r C

R=d R<d

点在圆上 点在圆外

点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为r,点P到圆心的距离OP=d, 则有: p d 点P在⊙O内 d<r

点P在⊙O上 点P在⊙O外

d=r d>r

r

r

d p

符号 ? 读作“等价于”,它 表示从符号 ? 的左端可以得到右 P d 端从右端也可以得到左端.

r

做一做
1:⊙O的半径10cm,A、B、C三 点到圆心的距离分别为8cm、 10cm、12cm,则点A、B、C与 ⊙O的位置关系是: 点A在 圆内 . ∵OA=8<10 ∴点A在圆内 点B在 圆上. ∵OB=10=10 ∴点B在圆上 点C在 圆外. ∵OC=12>10 ∴点C在圆外

典型例题
例:如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米 (1)以点A为圆心,3厘米为半径作 圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系 如何? (B在圆上,D在圆外,C在圆外) (2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A, A 则点B、C、D与圆A的位置关系如何? 3 (B在圆内,D在圆上,C在圆外) B

4 5

D

C

(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B、C、 D与圆A的位置关系如何? (B在圆内,D在圆内,C在圆上)

例3:在⊙O中,点A到⊙O的最小距离为3,最大距离是 11或8 ) 19,那么⊙O的半径为(
N
8 11

O
8 R 3

O
3 D3 4 5 P Q QD ? 4cm

RD ? 4cm 例4.⊙O的半径5cm,圆心O到直线的AB距离d=OD=3cm。 在直线AB上有P、Q、R三点,且有 PD ? 4cm QD ? 4cm
A

M

A

RD ? 4cm 。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是 怎么样的? 点P在圆上 点Q在圆外 点R在圆内

过一点可作几条直线?过两点可以作几条直线? 过三点呢?

经过一点可以作无数条直线;



A



A



B

过两点有且只有一条直线(直线公理)

(“有且只有”就是“确定”的意思

过三点

1、若三点共线,则过这三点只能 作一条直线. 2、若三点不共线,则过这三点不 能作直线,但过任意其中两点一共 可作三条直线. A C B C

A

B

直线公理:两点确定一条直线

1、平面

上有一点A,经过已知A点的圆有 几个?圆心在哪里?




O O





A


O



O

O

有无数个,圆心为点A以外任意一点,半径为 这点与点A的距离

2、平面上有两点A、B,经过已知点A、B 的圆有几个?它们的圆心分布有什么特点?

●O O ●

有无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点 到A或B的距离为半径作圆.



O

3、平面上有三点A、B、C,经过A、B、C 三点的圆有几个?圆心在哪里?
经过A,B两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上. ?经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 两条垂直平分线的交点O的位置.


A



B





O


C

归纳结论:
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个. 经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。 三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。 B 这个三角形叫做这个圆的内 接三角形。
A



O
C

三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

一个三角形的外接圆有几个? 一个圆的内接三角形有几个?

分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三 角形,再画出它们的外接圆,观察并叙述各三角形 与它的外心的位置关系.
A A


A


O C B ┐

O C



O

B

B

C

锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.

1、判断下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ ) 2、若一个三角形的外心在一边上,则此三角形的 形状为( B ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

1,画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
3cm 2cm · O

典型例题
1. 如图,已知等边三角形 ABC 中,边长为 6cm ,求它的 外接圆半径。

? (2x) ? x ? 3 2 ?x ? 3 B 2 ? x ? 3? 半径: 3 2. 如 图 , 已 知 Rt⊿ABC 中 , ? AB ? 13 若 AC=12cm , ? ?C ? 90 0 B BC=5cm , 求 的 ? AB是直径 外接圆半径。 ? 半径: .5 6
2 2 2

A E

O
2x 300 3 x

C
C

D

A

3. 如果直角三角形的两条直角边分别是 6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆 的半径吗?是多少? 4.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三 角形的外接圆的面积.

巩固练习
如图,等腰⊿ABC中,
AB ? AC ? 13cm ,

BC ? 10cm ,点O为外心, 求外接圆的半径。
A

O B C

D

(2)经过同一条直线三个点能作

出一个圆吗?
假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆 如图,假设过同一条直线l上三点A、 B、C可以作一个圆,设这个圆的圆 心为P,那么点P既在线段AB的垂直 平分线l1上,又在线段BC的垂直平 分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而 l1⊥l,l2⊥l这与我们以前学过的“过 一点有且只有一条直线与已知直线 垂直”相矛盾,所以过同一条直线 上的三点不能作圆.

P

l1
A B

l2
C

什么叫反证法?
先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出

矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),
由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题成立,这

种方法叫做反证法.

思考:任意四个点是不是可以作一个圆? 请举例说明. 不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆; 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆; 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A A B A B

B

B

D

C

D

C

D

C

D

C

小结:
d<r d =r
d>r

1.点与圆的位置关系
点P在⊙O内 点A在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外

2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 3.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.

小结与归纳

◆ ◆

用数量关系判断点和圆的位置关系。

不在同一直线上的三点确定一个圆。

求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、

等腰三角形的外接圆半径。 ◆在求解等腰三角形外接圆半径时,运用了 方程的思想,希望同学们能够掌握这种

方法,领会其思想。


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