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立方根 演示文稿

发布时间:2013-09-21 12:04:52  

第二章

实数

3. 立方根

引例
某化工厂使用半径为1米的一 种球形储气罐储藏气体,现在要 造一个新的球形储气罐,如果要 求它的体积必须是原来体积的8倍, 那么它的半径应是原来储气罐半

径的多少倍?

引例
若新储气罐的体积是原来
的4倍,那么它的半径又是原 来储气罐半径的多少倍?

怎样求出半径R ?

想一想
(1)什么叫一个数a的平方根?如何用 符号表示数a ( a ≥0)的平方根? (2)正数的平方根有几个?它们之间 的关系是什么?负数有没有平方根? 0的平方根是什么?

(3)平方和开平方运算有何关系?
(4)算术平方根和平方根有何区别和 联系?

一般地,如果一个数x的平方等于a, 即x2= a ,那么这个数x就叫做a的平方根 (也叫做二次方根). 如:±2是4的平方根, 0的平方根是0 .

试一试,你能给出立方根定义吗?

立方根定义
一般地,如果一个数x的立方等于a , 即x3= a, 那么这个数x就叫做a的立方根 (cube root,也叫做三次方根)记作 3 a 如:2是 8 的立方根,-3是 -27 的立方根 , 0是 0 的立方根.

做一做
怎样求下列括号内的数?各题中 已知什么数?求什么数?

? 0 .1 ? ? ?
3 ? 4

3

3

?0 ?
议一议

3

? 0.001 27 ?? 64 ?0

(1)正数有几个立方根? (2)0有几个立方根?(3)负数呢?

类比平方根与立方根
1.开平方的定义 求一个数a的平方根的 运算,叫做开平方, 其中a叫做被开方数 如:
因为(? 2) ? 4,
2

1.开立方的定义 求一个数a的立方根的 运算,叫做开立方,其 中a叫做被开方数 如:
3 因为(? 2) ? ?8,

所以 ? 4 ? ?2.

所以3 ? 8 ? ?2.

2.平方根的性质
正数有两个平方根; 0的平方根是0; 负数没有平方根.

2.立方根的性质

正数的立方根是正数;

负数的立方根是负数; 0的立方根是0.

立方根的表示方法
注意:这个根指数3绝对不可省略.

3
3叫做根指数

a
a叫做被开方数

尝试反馈
例1 求下列各数的立方根: (1) -27
8 (2) 125
3

3 (3)3 8

(4) 0.216 (5) -5

2 3 8 解:( )因为(? 3) ? ?27, (2)因为( ) ? 1 , 5 125 所以 ? 27的立方根是? 3, 8 2 所以 的立方根是 , 3 即 ? 27 ? ?3. 125 5 8 2 3 即 ? . 125 5

3 3 27 3 3 0 , (3)因为( ) ? ? 3 , (4)因为( .6) ? 0.216 2 8 8 所以0.216 的立方根是0.6, 3 3 所以3 的立方根是 , 即3 0.216 ? 0.6. 8 2 3 3 3 3 , 即 ? . 8 2

3 (5) ? 5的立方根是 ? 5

例2
(1) ? 8;
3

求下列各式的值
(2) 0.064;
3

8 (3) ? 125 =
3

( 4) 9

? ?
3

3

?1 解:?3 ? 8 ? 3 ?? 2? ? ?2
3

?2?

3

0.064 ?

3

?0.4?

3

? 0.4

8 ?3? ? 3 ? ?3 125

2 ?2? ? ? ?? 5 ?5?

3

( 4) 9

? 9
3

? ?

3

自我测评
1.求下列各数的立方根 :
3

0.125 ? 64; - 64 ;5 ; ;
3 3 3 3

? 16? .
3 3

(1)0.5 ;(2)-4 ;(3)-4 ;
(4)5;(5)16. 通过以上计算,你发现了什么规律?

探究发现
3

a 表示 a的立方根,则

? a ? 表示什么?
3 3

3
3

a 呢?
3

? a与 ? a有什么关系呢?
3

结论:
3 3

? a ? ? a,

3

a ? a, ? a ? ? a
3 3 3

想一想
本节课你学到了哪些数学知识 和解决问题的方法?

1.了解立方根的概念,会用三次根号表示 一个数的立方根,能用立方运算求一个数 的立方根. 2.在学习中应注意以下5点: (1)符号
3

a中根指数“3”不能省略;

(2)正数、零、负数都有一个立方根;

(3)平方根和立方根的区别 正数有两个平方根,但只有一个立方根, 负数没有平方根,但却有立方根;

(4)灵活运用公式: a ? a, 3 a 3 ? a, 3 ? a ? ?3 a
3

? ?

3

(5)立方与开立方互为逆运算.我们可以 用立方运算求一个数的立方根,或检验一

个数是不是另一个数的立方根.

引例解决
某化工厂使用半径为1米的 一种球形储气罐储藏气体,现 在要造一个新的球形储气罐,

(1)如果要求它的体积必须 是原来体积的8倍,那么它的 半径应是原来储气罐半径的 倍?

2. 如果新储气罐的体积是原来的4
倍,那么它的半径应是原来储气罐半 径的
3

4

倍.

探究与思考
例 解下列方程
3 3

(1)8x +27=0; (2)x ? 1 ? 0.343 ? 0; (3) ? ?
4 5

; (3)81? x ? 1 ? 16; (4)32x ? 1? 0. ?
类比开平方与开立方

作业
1.习题2.5 2.书面总结平方根与立方根的 区别.


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