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二次函数的应用(1)的导学案

发布时间:2013-12-18 10:33:19  

6 . 3 二次函数的应用(1)的导学案

学习目标:

掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题. 学习重点:

本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题,这是本书惟一的一种类型,也是二次函数综合题目中常见的一种类型.在二次函数的应用中占有重要的地位,是经常考查的题型,根据图形中的线段之间的关系,与二次函数结合,可解决此类问题. 学习难点:

由图中找到二次函数表达式是本节的难点,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积公式等,应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式. 一、例题及练习:

例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示?

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

练习

1、如图⑴,在Rt△ABC中,AC=3cm,BC=4cm,四边形CFDE为矩形,其中CF、CE在两直角边上,设矩形的一边CF=xcm.当x取何值时,矩形ECFD的面积最大?最大是多少?

2、如图⑵,在Rt△ABC中,作一个长方形DEGF,其中FG边在斜边上,AC=3cm,BC=4cm,那么长方形OEGF的面积最大是多少?

3、如图⑶,已知△ABC,矩形GDEF的DE边在BC边上.G、F分别在AB、AC边上,BC=5cm,S△ABC

为30cm2

,AH为△ABC在BC边上的高,求△ABC的内接长方形的最大面积.

例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少

?

练习:某建筑物窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形.制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户透过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

二、课后练习:

1.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用y=-x2

+4表示.

(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗? (2)如果隧道内设双行道,那么这辆货运车是否可以通过? (3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?

2.在一块长为30m,宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台.设正方形的边长为xm,除去花台后,矩形地面的剩余面积为ym2

,则y与x之间的函数表达式是 ,自变量x的取值范

围是

.y有最大值或最小值吗?若有,其最大值是

,最小值是

,这个函数图象有何特点?

3.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍,门MN宽2m,门PQ和RS的宽都是1m,怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大?

4.把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆,哪个面积最大?为什么?

5.周长为16cm的矩形的最大面积为 ,此时矩形的边长为 ,实际上此时矩

形是

6.当n=

时,抛物线y=-5x2

+(n2

-25)x-1的对称轴是y轴.

7.已知二次函数y=x2

-6x+m的最小值为1,则m的值是 .

18.如果一条抛物线与抛物线y=-2

3

x+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的表达式是

9.若抛物线y=3x2

+mx+3的顶点在x轴的负半轴上,则m的值为 .

10.将抛物线y=3x2

-2向左平移2个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线为( ) A.y=3(x+2)2

+1 B.y=3(x-2)2

-1 C.y=3(x+2)2-5

D.y=3(x-2)2

-2

11.二次函数y=x2+mx+n,若m+n=0,则它的图象必经过点( ) A.(-1,1)

B.(1,-1)

C.(-1,-1) D.(1,1)

12.如图是二次函数y=ax2

+bx+c的图象,点P(a+b,bc)是坐标平

面内的点,

则点P在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

13.已知:如图1,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于E,DF⊥AC交A C于F,设DF=x.

(1)求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,△EDF的面积最大?最大面积是多少; (3)若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似,求BD长.

6 . 3 二次函数的应用(2)的导学案

教学目标

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义. 教学重点

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题

一、有关利润问题:

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?

二、做一做:

某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. ⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.? ⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?

三、举例:

【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与

日销售量y件之间有如下关系:

(1①根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点;

②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式,并画出图象. (2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P元,根据日销售规律:

①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式,并求出日销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?试问日销售利润P是否存在最小值?若有,试求出;若无,请说明理由.

②在给定的直角坐标系乙中,画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图,观察图象,写出x与P的取值范围.

【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30元/kg,物价部门规定

其销售单价不得高于70元/kg,也不得低于30元/kg.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60kg;单价每降低1元,日均多售出2kg.在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.

(1)求y关于x的二次函数表达式,并注明x的取值范围.

2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x+b24ac?b2

(2a)+4a

的形式,写出顶点坐标,在

图所示的坐标系中画出草图.观察图象,指出单价定为多少元时日均获利最多?是多少?

(3)若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式,哪一种获总利较多?多多少?

四、随堂练习:

1.关于二次函数y=ax2

+bx+c的图象有下列命题:

①当c=0时,函数的图象经过原点;②当c>0且函数图象开口向下时,方程ax2

+bx+c=0必有两

个不等实根;③当a<0,函数的图象最高点的纵坐标是4ac?b2

4a

;④当b=0时,函数的图象关于y轴

对称.其中正确命题的个数有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.某类产品按质量共分为10个档次,生产最低档次产品每件利润为8元,如果每提高一个档次每件利润增加2元.用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,每提高一个档次将少生产3件,求生产何种档次的产品利润最大?

五、课后练习

1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.

(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?

2.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元,其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少?

6 . 3 二次函数的应用(3)的导学案

学习目标:

经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程,体会三种方式之间的联系和各自不同点;掌握变量之间的二次函数关系,解决二次函数所表示的问题;掌握根据二次函数不同的表达方式,从不同的侧面对函数性质进行研究. 学习重点:

能够根据二次函数的不同表示方式,从不同的侧面对函数进行研究.函数的综合题目,往往是三种方式的综合应用,由三种不同方式,都能把握函数性质,才会正确解题. 学习难点:

用三种方式表示二次函数的实际问题时,忽略自变量的取值范围是常见的错误. 一、做一做:

已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2,y随x的而变化的规律是什么?你能分别用函数表达式,表格和图象表示出来吗?比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.

二、试一试:

两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ?用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?

三.讲解例题

【例1】已知函数y=x2

+bx+1的图象经过点(3,2).

(1)求这个函数的表达式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围.

例2】 一次函数y=2x+3,与二次函数y=ax2

+bx+c的图象交于A(m,5)和B(3,n)两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9.

(1)求二次函数的表达式;

(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象;

(3)从图象上观察,x为何值时,一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时,一次函数值大于二次函数值?

【例3】 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300

天内,西红柿市场

售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示.(1)写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f(t),写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g(t);

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和

2

种植成本的单位:元/10kg,时间单位:天)

1.已知函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( )

2

bbbb

A.0<-

2a<1 B.0<-2a<2 C.1<-2a<2 D.-2

a=1

五、随堂练习:

图① 图②

2.抛物线y=ax2

+bx+c(c≠0)如图②所示,回答: (1)这个二次函数的表达式是 ; (2)当x= 时,y=3;

(3)根据图象回答:当x 时,y>0.

3.已知抛物线y=-x2

+(6-2k)x+2k-1与y轴的交点位于(0,5)上方,则k的取值范围是 . 六、课后练习

1.若抛物线y=ax2+b不经过第三、四象限,则抛物线y=ax2

+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向上,对称轴平行于y轴 D.开口向下,对称轴平行于y轴

2.二次函数y=-x2

+bx+c图象的最高点是(-1,-3),则b、c的值是( ) A.b=2,c=4 B.b=2,c=4 C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4.

3.二次函数y= ax2

+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①c<0;②b

>0;③4a+2b+c>0;④(a+c)2<b2

.其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为 ,若设其中一个数为x,积为y,则y与x的函数表达式为 .

5.一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子,要想使铁丝框的面积最大,边长分别为 .

6.若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表达式为 ,它有最 值,即当x= 时,y= .

7.边长为12cm的正方形铁片,中间剪去一个边长为x的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积y(cm2

)与x(cm)之间的函数表达式为 .

8.等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 .

9.抛物线y=x2

+kx-2k通过一个定点,这个定点的坐标为 .

§6 . 3 二次函数与一元二次方程(2)

学习目标:

体会二次函数与方程之间的联系;掌握用图象法求方程的近似根;理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根;理解一元二次方程的根就是二次函数y=h(h是实数)图象交点的横坐标. 学习重点:

本节重点把握二次函数图象与x轴(或y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系.掌握此点,

关键是理解二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点,即y=0,即ax2

+bx+c=0,从而转化为方程的根,再应用根的判别式,求根公式判断,求解即可,二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容,在其考查中也有重要的地位. 学习难点:

应用一元二次方程根的判别式,及求根公式,来对二次函数及其图象进行进一步的理解.此点一定要结合二次函数的图象加以记忆. 一、实例讲解:

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么 (1).h和t的关系式是什么?

(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

二、议一议:

在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题: (1).每个图象与x轴有几个交点?

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

三、例题:

【例1】已知二次函数y=kx2

-7x-7的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为 .

【例2】抛物线y=ax2

+bx+c与x轴交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点C到x轴的距离为2,求此抛物线表达式. 【例3】有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:

甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

2.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点的距离等于4,它在y轴上的截距是-6,则它的丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三点为顶点的三角形面积为3. 请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 .

四、随堂练习:

1.求下列二次函数的图象与x轴交点坐标,并作草图验证.

(1)y=x2

-2x;(2)y=x2

-2x-3.

2.你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2

+bx+c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点,何时没有交点? 五、课后练习:

1.抛物线y=a(x-2)(x+5)与x轴的交点坐标为

表达式为

3.若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2

+bx+c经过 象限.

4.抛物线y=x2

-2x+3的顶点坐标是

5.若抛物线y=2x2-(m+3)x-m+7的对称轴是x=1,则m=

6.抛物线y=2x2

+8x+m与x轴只有一个交点,则m=

7.已知抛物线y=ax2

+bx+c的系数有a-b+c=0,则这条抛物线经过点 . 8.二次函数y=kx2

+3x-4的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围

9.抛物线y=x2-2ax+a2

的顶点在直线y=2上,则a的值是

10.抛物线y=3x2

+5x与两坐标轴交点的个数为( ) A.3个

B.2个

C.1个

D.无

a?b?

c

11.如图1所示,函数y=ax2

-bx+c的图象过(-1,0),则b?cc?aa?b的值是( 1

1

A.-3

B.3

C.2

D.-2

12.已知二次函数y=ax2

+bx+c的图象如图2所示,则下列关系正确的是( )

bbbb

A.0<-

2a<1 B.0<-2a<2 C.1<-2a<2 D.-2a=1

13.已知二次函数y=x2

+mx+m-2.求证:无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点.

§6 . 复习课的导学案

一、填空题:

⑴.抛物线y??

1

2

?x?2?2?5的对称轴是 .这条抛物线的开口向 . ⑵.用配方法将二次函数y?3x2?2x?1化成y?a?x?h?2

?k的形式是 . ⑶.已知二次函数y?x2?bx?3的图象的顶点的横坐标是1,则⑷. 二次函数y??x2?4x的图象的顶点坐标是,在对称轴的右侧y随x的增大而⑸.已知抛物线y?2x2?bx?c的顶点坐标是(-2,3),则bc⑹.若抛物线y?4x2?2x?c的顶点在x轴上,则c= . ⑺. 已知二次函数y?x2?6x?m的最小值是1,那么m的值是 . ⑻. 若抛物线y?mx2??2m?1?x经过原点,则⑼. 已知二次函数y??m?2?x2?2mx??3?m?的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y轴的负半轴,则m的取值范围是 .

⑽. 若抛物线y?3x2??m2?2m?15?

x?4的顶点在y轴上, 则 m的值是

二、选择题:

⑴. 若直线y=ax+b不经过一、三象限,则抛物线y?ax2?bx?c( ). (A)开口向上,对称轴是y轴; (B) 开口向下,对称轴是y轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下,对称轴是直线x=-1;

⑵. 抛物线y?2?x?1??x?3?的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);

⑶. 若二次函数y?ax2

?bx?c的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y轴的正半轴; 则

点P??c?

?a,b??

在( ).

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; ⑷. 对于抛物线y?2x2?12x?17,下列结论正确的是( ). (A) 对称轴是直线x=3,有最大值为1; (B) 对称轴是直线x=3,有最小值为-1; (C) 对称轴是直线x=-3,有最大值为1; (D) 对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;

⑸.已知直线y=x+m与抛物线y?x2相交于两点,则实数m的取值范围是( ).

(A) m﹥?

11114; (B)m﹤?4

; (C)m﹥4; (D) m﹤4.

⑹.若一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点在第二象限,交于y轴的正半轴,与x轴有两个交点,则下列结论正确的是( ).

(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0 ⑺. 抛物线y?x2?3x?2不经过( ).

(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限

⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是( ). (A) y??x2?4x?3, (B)y??x2?4x?3, (C) y?x2?4x?3,(D) y??x2?4x?3,

⑼.在同一直角坐标系中,抛物线y?x2?4x?5与直线y=2x-6的交点个数是( ).

(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.

⑽.已知反比例函数y?

kx

的图象如右图所示,则二次函数y?2kx2?x?k2

的图象大致为( )

三、解答下列各题:

⑴. 已知二次

A.

B.

C.

D.

函数y?ax2?bx?c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,求这个二次函数的解析式.

⑵. 已知抛物线y??2?x?1?2

?8,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的

距离.

⑶.已知抛物线y?ax2?bx?c(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下,对称轴在y轴的左侧,求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.

⑷.围猪圈三间(它的平面图为大小相等的三个长方形),一面利用旧墙,其它各墙(包括中间隔墙)都是木料,已知现有木料可围24米长的墙,试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大,并求最大面积.

⑸.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件,问他将售出价定为多少

元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.

(6).如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上。 ⑴求△ABC中AB边上的高h;

⑵设DG=x,当x取何值时,水池DEFG的面积最大?

⑶实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。 C

G

ADEB

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