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26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像

发布时间:2013-12-18 16:35:16  

26.1.3
2 二次函数y=a(x-h)

的图象与性质

复习二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 a>0 a<0

k>0
开口 对称性 顶点

k<0

k>0

k<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小

关于y轴 (x=o)对称

(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴左侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而减小

增减性

口方向、对称轴和顶点. x
1 y ? ? ( x ? 1) 2 2 1 y ? ? ( x ? 1) 2 2

1 1 y ? ? ( x ? 1) 2 y ? ? ( x ? 1) 2 画出二次函数 2 2

的图像, 并说出它们的开

解:先列表 描点
0 2 3 -4.5 …
1
y

… -4

-3

-2 -0.5 -4.5

-1

… -4.5 -2 …

1 0 -0.5 -2 -2 -0.5 0

4…


-0.5 -2 -4.5

1 1 y ? ? ( x ? 1) 2 y ? ? ( x ? 1) 2 (1)抛物线 2 2 的开口方向、对称轴、顶点各是

什么? 1 (2)抛物线 y ? ? ( x ? 1) 2 2 1 2 1 2 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 有什么关系?

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ? ? ( x ? 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y ? ? ( x ? 1) 2 x=-1
2

x=1

有什么关系? 即: 1 向左平移 1 2 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2
1 2 向右平移 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2

1 1 1 2 2 2 抛物线 y ? ? ( x ? 1) 、y ? ? ( x ? 1) 与抛物线 y ? ? x 2 2 2

1

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 y ? ? ( x ? 1) 2 -3 :(1)抛物线能够平 2 -4 移的理由是什么? -5 (2)为什么是左右平移而非上 -6 -7 下平移? -8 (3)平移的单位与什么有关? -9 1 (4)何时向左平移?何时向右 1 2 y ? ? x2 -10 y ? ? ( x ? 1)

想一想

平移?

2

2

在同一坐标系中作出了下列二次函数的图像:
1 y ? ( x ? 2) 2 2
1 y ? ( x ? 2) 2 2
5 4 3 6

观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8 -6 -4 -2

2

1

B

2

4

6

1 y ? ( x ? 2) 2 向左平移 2 2个单位

向右平移 y ? 1 ( x ? 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4

向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(-2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=-2 2个单位 即直线: x=0 2个单位

二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2

a>0

a<0

图象

h>0
开口

h<0

h>0

h<0

对称性
顶点

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h

(h,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

增减性

在同一坐标系中观察 y ? 3x 2 和 y ? 3? x ? 1? 的函数图象, 回答问题。
2

(1)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整

体沿x轴 向右平移了1 个单位

y ? 3x 2

y ? 3?x ? 1?

2

图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).

二次项系数相同 a>0,开口都向上.

?想一想,在同一坐标系中作二次函 数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?

(2)x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少?
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,. 二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的增减性类似.

y ? 3x

2

y ? 3?x ? 1?

2

顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.

?想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

1. 抛物线y=a(x-h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x-h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).

1.填表
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2 开口方向 对称轴 顶点坐标

向上
向下 向下

直线x=-3
直线x=1 直线x=3

( -3 , 0 )
(1,0) ( 3, 0)

2.填空 (1)二次函数y=2(x+5)2的图像是 抛物线 ,开 口向上 ,对称轴是直线x= -5 ,当x= -5 时,y有最 小 值, 是 0 . (2)二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的;开口 向下 ,对称轴 4 是直线x= ,当x= 4 时,y有最 大 值,是 0 .

(3)将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2(x-3)2 的图像,其对称轴是 直线x=3 ,顶点 是 (3,0) ,当x >3 时,y随x的增大而增大;当 x <3 时,y随x的增大而减小. (4)将二次函数y= -3(x-2)2的图像向左平移3个单位后 2 得到函数 y= -3(x+1) 的图像,其顶点坐标是 (-1,0) , 对称轴是 直线x=-1 ,当x= -1 时,y有最 大 值, 是 0 .

(5)将函数y=3(x-4)2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=-3(x-4)2 ;将函数y=3(x-4)2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3(x+4)2 ; (6)把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3(x-h)2的图象,则 a= -3 ,h= -2 .若 抛物线y= a(x-4)2的顶点A,且与y轴交于点B,抛 物线y= - 3(x-h)2的顶点是M,则SΔMAB= 144 . (7)将抛物线y=2x2-3先向上平移3单位,就得到函 数 y=2x2 的图象,在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2(x-3)2的图象. (8)函数y=(3x+6)2的图象是由

函数
y=9(x-3)2 的

图象向左平移5个单位得到的,其图象开口向 上 ,对 (-2,0) 称轴是 直线x=-2 ,顶点坐标是 ,当x >-2 时, y随x的增大而增大,当x= -2 时,y有最 小 值是 0 .

谢谢大家,再会!


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