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15[1].1.2分式的基本性质

发布时间:2013-12-18 16:35:22  

15.1.2分式的 基本性质

复习回顾
下列两式成立吗?为什么?

2 2c ?  (c 3 3c

? 0)

5c 5 ?  (c ? 0) 6c 6

分数的基本性质:

分数的分子、分母同乘(或除以)一个不 为0的数,分数的值不变.
a 即;对于任意一个分数 b 有:

a a?c a a?c ?     ?    (c b b?c b b?c

?0)

一辆匀速行驶的汽车,
如果th行驶 skm,那么汽车的速度为

s t

km/h。

2s 如果2th行驶2 skm,那么汽车的速度为 2t km/h。

3s 如果3th行驶3 skm,那么汽车的速度为 3t km/h。
ns 如果nth行驶 nskm,那么汽车的速度为 nt km/h。

这些分式相等吗?为什么?

类比分数的基本性质,你能得到分式 的基本性质吗?说说看!

A 分式的分子与分母同乘 B (或除以) 一个不等于 A 零的整式,分式的值不变. B



A×C

B×C = A÷C B÷C (C是不等于0的整式)

为什么所乘(或除)的 整式不能为0呢?

分式基本性质的应用

例 1、 填空:
a ? b a( a ? b (1) ? 2 ab ab ) 3x ? 3xy x? y (2) ? 2 6x ( 2x )
2

看分子(分母)如何变化, 想分母(分子)如何变化

例2 不改变分式的值,使下列分式 的分子和分母都不含“-”号:
?5b (1) ?6 a
(2) ?x 3y
(3) 2m ?n

?5b ?5b ? (?1) 5b 解 (1) ? ? ?6a ?6a ? (?1) 6a

?x x (2) ? (? x) ? 3 y ? ? 3y 3y
2m 2m (3) ? 2m ? (? n) ? ? ?n n

规律总结 分式符号变换的依据与分数符号变换

的依据相同,也遵循“同号得正,异 号 得负”的原则。

倍,则分式的值 ( A ) A.不变; B.扩大3倍; C.扩大9倍 D.扩大6倍

3a 1、将 a ? b中的a、b都变为原来的3

x 2、把分式中 的字母x的值变为原来的2倍, y
而y缩小到原来的一半,则分式的值( C ) A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D.是原 来的一半

注意 分数的约分和通分在分数的运算中起着 重要的作用,类似的,分式的约分和通 分在分式的运算中也起着重要的作用。

与分数类似:根据分式的基本性质, 也可以对分式进 行约分和通分.

? 分析:分式的约分,即要求把分子与分母

的公因式约去,为此,首先要找出分子与 分母的公因式.

例题
约分:(1)
? 25a 2bc 3 15ab 2c
2 2 约去系数的最

5abc ? 5ac 5ac 大公约数,和分 解:原式 ? ? ?? 5abc ? 3b 3b 子分母相同字母

x ?9 (2) 2 x ? 6x ? 9 ( x ? 3)( x ? 3) x - 3 (2)解:原式 ? ? 2 ( x ? 3) x?3
2

的最低次幂 先把分子、 分母分别分解 因式,然后约 去公因式.

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.

约分方法归纳: (1)先因式分解; (2)再找公因式; (3)后约分。

练习:约分:

x ? xy ? x( x ? y ) (1) 2 2 2 ( x ? y) x ? 2 xy ? y 2 x( x ? y )( x ? y ) x ? xy ? ? 2 ( x ? y) x? y
3 2 2 2

规律总


约分的基本步骤:(1)若分子﹑分母都是单项式, 则约简系数,并约去相同字母的最低次幂;
(2)若分子﹑分母含有多项式,则先将多项式分解 因式,然后约去分子﹑分母中所有的公因式. 注意:约分过程中,有时还需运用分式的符号法则使 最后结果形式简捷;约分的依据是分式的基本性质
? ?

约分后,分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.

?

注意:化简分式时通常要使结果成为最简分式或整式.

5xy 在化简分式 时,小颖和小明的做法 2 出现了分歧: 20 x y
5xy 5x 小颖: ? 2 2 20x y 20x

辨别对错

5xy 5xy 1 ? 小明: 2 ? 20x y 4x ? 5xy 4x
你对他们俩的解法有何看法?说说看! ?一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. ?彻底约分后的分式叫最简分式.

1 3 5 1、把下面的分数通分: , , 2 4 6
2、什么叫分数的通分? 答:把几个异分母的分数化成同分母的分数, 而不改变分数的值,叫做分数的通分。

3、和分数通分类似,把几个异分母的分 式化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。

4、通分的关键是确定几个分式的公分母。

例题讲解与练习
例1、 通分 1 1 (1) 2 , 2 a b ab
公分母如何确定呢?

最简公分母
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母(或因式)的最 高次幂的积(其中系数都取正数)

通分:

3 a ?b (1) , 2 2a b ab 2c

3 a ?b 解: 2 与 2 的最简公分母为 a 2b 2c, 所以 2 2a b ab c 3 3 ? bc 3bc ? ? , 2 2 2 2 2a b 2a b ? bc 2a b c a ? b (a ? b) ? 2a 2a 2 ? 2ab ? ? . 2 2 2 2 ab c ab c ? 2a 2a b c

通分:
即x 2 ? y 2 , 所以

2x 3x ( 2) , x ?5 x ?5

1 1 解: 与 的最简公分母为 x ? y )(x ? y ), ( x? y x? y 2x 2 x ? x ? 5) ( 2 x 2 ? 10x ? ? 2 , x ? 5 ( x ? 5)(x ? 5) x ? 25 3x 3x ? ( x ? 5) 3x 2 ? 15x ? ? 2 . x ? 5 ( x ? 5)(x ? 5) x ? 25

练习求分式
2

1 1 的最简公分母。 2 与 2 4x ? 2x x ?4

4 x ? 2 x ? 2 x(2 ? x) ? ?2 x( x ? 2) x ? 4 ? ( x ? 2)(x ? 2)
2

把这两个分式的分母中所有的因式都取到, 其中,系数取正数,取它们的积,即 2 x( x ? 2)( x ? 2) 就是这两个分式的最简公分母。

1 1 1 (1)求分式 3 2 , 2 3 , 4 的公分母。 2 x y z 4 x y 6 xy

分析:对于三个分式的分母中的系数2, 4,6,取其最小公倍数12;对于三个分 式的分母的字母,字母x为底的幂的因式, 取其最高次幂x3,字母y为底的幂的因式, 取其最高次幂y4,再取字母z。所以三个 分式的公分母为12x3y4z。

小结与收获
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等 于零的

整式,分式的值不变,即:
A A? C A ? C ? ? B B?C B ?C

1、分式的基本性质。

(C 是不等于零的整式)

2、分式的约分

最简分式

3、分式的通分 最简公分母


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