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二次函数应用讲课

发布时间:2013-12-19 09:32:34  

知识回顾: 1、二次函数解析式的一般式和顶点式: 2 (1)一般式

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)

(2)顶点式

2.二次函数的顶点坐标和最大(小)值有什么关 系?

(1)一般式 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 2 顶点坐标: ( ? b , 4ac ? b ) 2a 4a
2

最小 若a>0,函数有____值,ac ? b b 4 ? 4a 当x=____时,y最小值=____ 2a
2

最大 若a<0,函数有____值,ac ? b b 4 ? 当x=____时,y最大值=____ 4a 2a
2

(2)顶点式

y=a(x-h)2+k (a≠0)

顶点坐标: (h,k)

最小 若a>0,函数有____值, h k 当x=____时,y最小值=____ 最大 若a<0,函数有____值, h k 当x=____时,y最大值=____

(1) y=-x2-x+2

(2) y=(x-1)2-4

学习目标:
? 1经历数学建模的基本过程。 ? 2.会用二次函数解决面积,利润等问题。 ? 3.体会二次函数是最优化数学模型,感受数 学的应用价值。

1、某工厂为了存放材料,需要围一个周长为60 米的矩形场地,问:矩形的长和宽各取多少米, 才能使存放场地的面积最大? 30-x
解:设场地的长为x米,则宽为 (30-x)米,面积为y平方米,
x

根据题意,y与x之间的函数解析式为: y=x(30-x)=-x2 +30x=-(x2 -30x) =-(x2 -30x+225-225)=-(x-15)2 +225 因为a=-1<0,所以当x=15时,函数y有最大值 是225。 所以,当长为15米,宽为30-15=15米时, 矩形场地有最大面积。

变式:如果一面靠墙,其余三边的长度之和为60米, 长宽为多少时,矩形面积最大?最大面积是多少? 解:设场地的宽为x米,则为 (如果墙长20米) (60-2x)米,面积为y平方米, x 根据题意,y与x之间的函数解析式为: y=x(60-2x)=-2x2 +60x =-2(x-15)2 +450(0<x<30)
(60-2x)

因为a=-2<0,所以当x=15时,函数y有最大值是450。 所以,当宽为15米,长为60-2x15=30米时, 矩形场地有最大面积为450平方米。

延伸: 长宽为多少时,矩形面积最大? (如果墙长20米)
y=x(60-2x) =-2x2 +60x(0<x<30) ∵墙的可用长度为20米 ∴ 0<60-2x ≤ 20 ( 20≤x<30)
x (60-2x)

y

∴当x=20米时, y最大值=-2x202 +60x20 =400平方米

o

15 20 30

x

解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); 求自变量取值范围; 利用函数知识,求解(通常是最值问题); 写出结论。

生活中的最值问题

某商品进价为每件40元,现在的售价为每件60 元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每 降价1元,每星期可多卖出18件,如何定价才 能使利润大?
此时每件商品的利润为 解:设降价x元时最大利润为y元, (60-x-40)元,实际卖出商品 (300+18x)件,

y ? ?60 ? x ? 40??300? 18x ?
2
2

? ?18x ? 60x ? 6000
b 5 5 ?5? 当x ? ? ? 时,y最大 ?

?18? ? ? ? 60? ? 6000? 6050 2a 3 3 ? 3?

小试牛刀
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度 A 移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,

如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,

几秒后ΔPBQ的面积最大?
最大面积是多少?
P

C

Q

B

解:根据题意,设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则: A AP=2x cm PB=(8-2x) cm QB=x cm 则
1 y= x(8-2x) 2

=-x2

+4x

P

=-(x2 -4x +4 -4)

= -(x - 2)2 (0<x<4)
最大面积是 4 cm2

+

4

C

Q

B

所以,当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大

3.快艇和轮船分别从A地和C地同时出发,各沿着所指 方向航行(如图所示),快艇和轮船的速度分别是每 小时40km和每小时16km.已知AC=145km,经过多 少时间,快艇和轮船之间的距离最短?(图中 AC⊥CD)
145km
C A

D

抛物线形问题

例3.一场篮球赛中,姚明投篮,已知球出手时离地 面高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球 出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮
问此球能否投中?
9

球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。

4米
20 9
0

3米

4米

8米

y
20 9

(4,4)
1 ?a ? ? 9
?y ??
8

3

如图,建立平面 直角坐标系, 点(4,4)抛物线的顶点, ∵篮圈中心距离地面3米 因此可设为:

0

4

x

1 ?x ? 4?2 ? 4 (0≤x≤8) 9

20 当x ? 8时, y ? 9

y ? a?x ? 4? ? 4
2

∴此球不能投中 (0≤x≤8)

? 20 ? ? 抛物线经过点 0, ? ? ? 9 ? 20 2 ? ? a?0 ? 4? ? 4 9

用抛物线的知识解决生活中的一些实 际问题的一般步骤: 建立直角坐标系
二次函数 问题求解 找出实际问题的答案


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