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中考压轴题(二次函数)之【因动点产生的线段和差问题】精品解析

发布时间:2013-12-19 10:30:03  

中考压轴题之【因动点产生的线段和差问题】精品解析

——————————————————————————————————————— 中考压轴题(二次函数)之【因动点产生的线段和差问题】精品解析

【例1】(天津市中考第25题)

在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.

(1)如图1,求点E的坐标;

(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.

222①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B+BE′,并求出使A′B2+BE′

取得最小值时点E′的坐标;

②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).

图1 图2

思路点拨

1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m.

22.求A′B2+BE′的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子.

3.求A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线段最短.

满分解答

(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA. 所以AOBO24.因此??. OEOAOE2

解得OE=1.所以E(0,1).

(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.

2在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′=9+m2.

2所以A′B2+BE′=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.

2所以当m=1时,A′B2+BE′取得最小值,最小值为27.

此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).

②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为(,1). 8

7

1

中考压轴题之【因动点产生的线段和差问题】精品解析

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图3 图4

考点伸展

第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′, 所以A′B+BE′=A′B+BE′′.

当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.

在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′

当A′、B、E′′三点共线时,

解得m?

A'OA'O'm2.所以?. ?BOE''O'4788.此时E'(,1). 77

2

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【例2】(滨州市中考第24题)

如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.

图1

答案 (1)y??1x2?x。 (2)AM+OM

的最小值为2

图2 图3

3

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【例3】(山西省中考第26题)

如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;

(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.

图1

思路点拨

1.第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种情况讨论.

2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B′,那么M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.

满分解答

(1)由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,

得A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4).

直线AC的解析式是y=3x+3.

(2)Q1(2, 3),Q2

(1?3),Q3

(1?3).

(3)设点B关于直线AC的对称点为B′,联结BB′交AC于F.

联结B′D,B′D与交AC的交点就是要探求的点M.

作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO.

AFBF在Rt△BAF

中,AB=4

,所以BF?. ??131236B'EBE,BB'?2BF?,所以B'E?,BE?. ??

551336212112所以OE?BE?OB?的坐标为(?,). ?3?.所以点B′5555

因为点M在直线y=3x+3上,设点M的坐标为(x, 3x+3). 在Rt△BB′E

中,

4

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12123x?3?DD'MM'yD?yB'yM?yB'?. 由,得.所以??B'D'B'M'xD?xB'xM?xB'1?x?554?

解得x?99132.所以点M的坐标为(,).

353535

图2 图3

考点伸展

第(2)题的解题思路是这样的:

①如图4,当AP是平行四边形的边时,CQ//AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称,点Q的坐标为(2, 3).

②如图5,当AP是平行四边形的对角线时,点C、Q分居x轴两侧,C、Q到x轴的距离相等.

解方程-x2+2x+3=-3,

得x?1所以点Q的坐标为

(1?3)或

(1?3).

图4 图5

5

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