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从梯子的倾斜程度谈起 1 Microsoft Word 文档

发布时间:2013-12-19 12:32:03  

课题§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时) 课型:新授课

授课人:枣庄五中 刘春隆

授课时间:2013年12月9日星期一

学习目标:

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,还能够用正切进行简单的计算.

学习重点:

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.

学习难点:

理解正切的意义,并用它来表示两边的比.

学习方法:

引导—探索–-归纳—应用.

学习过程:

一、情境导入

同学们,梯子是我们生活中应用广泛的生活用品.你知道梯子怎样摆

放最安全吗?你会比较两个梯子陡缓吗?

设计意图: 创设新颖、有趣的问题情景,激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔。

二、探究学习 (1)生活问题数学化:

师:如图:左边梯子AB和右边梯子EF哪个陡?你是怎样判断的?

6米

1米 5米

生1:AB较陡.

因为两个梯子达到高度相同,但是AB的底端离墙较近,所以AB较陡. 生2:AB较陡.

因为梯子AB与地面的夹角比梯子EF的夹角大,所以AB较陡.

师:如图下面两组中,左边梯子AB和右边梯子EF哪个陡? 你是怎样判断的?

5米 5米 生3:第一组中,EF较陡.

因为梯子的底端到墙的距离相同,但是EF达到的高度高,所以EF较陡.

生4:第一组中,EF较陡.

因为EF梯子与地面的夹角大于AB梯子与地面的夹角,所以EF

较陡;

3米 5米

2米 4米

生5:第二组中,AB较陡.

因为AB梯子达到的高度与底端距离墙的距离之比大于EF梯子,所以AB较陡.

生6:第二组中,AB较陡.

因为AB梯子与地面的夹角大于EF梯子与地面的夹角,所以AB较陡.

师:比较梯子的陡缓还有很多方法.刚才这几位同学的方法中有的用到梯子与地面的夹角的

大小,有的都用到梯子的高度与底端的宽度的比值,这两种方法哪种更易操作?这个夹角的

大小以及这个比值的大小与梯子的陡缓究竟有什么关系?夹角的大小与比值的大小有怎样

的联系?请探究下面的问题.

设计意图:设计三种不同类型的梯子,比较它们的陡缓,激发学生的学习兴趣,进而寻求比

较陡缓方法.接着通过三个逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探

究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心

“两直角边之比”靠近。从而强化了对“正切”概念的生成化理解。

探究学习(2)几何问题数学化

(如图,回答下列问题)

小明想测量B1C1和AC1的值 ,计算B1C1和AC1的比值来说明梯子的倾斜程度.

小亮想测量B2C2和AC2的值,计算B2C2和AC2的比值来说明梯子的倾斜程度. ⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

(2) B1C1B2C2有什么关系? 和AC1AC2

⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?

(4)哪种方法易操作更可取?

(5)由此你得出什么结论?

生:(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2全等.

(2) B1C1B2C2相等. 和AC1AC2

(3)仍然成立.

(4)B3更可取易操作.

(5)在直角三角形中只要∠A确定,∠A对边与邻边的比值一定.

三、归纳定义

师:如图,在直角⊿ABC中,如果锐角A 确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比值叫做∠A的正切,记作:tanA.即tanA=

师:解释强调: ?A的对边BC

=?A的邻边ACA的对边 ∠A的邻边 C

(1)tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号∠.但是用三个字母表示的角不能省略角的符合∠,例如tan∠ABC.

(2)tanA表示∠A的对边与邻边的比值,没有单位.

(3) tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

生:写一写tanA,读一读tanA.

师:你能不能表示出∠B的正切?

生:tanB=?B的对边AC= ?B的邻边BC

设计意图:通过老师的强调加强对正切函数概念的理解,教师的强调讲解既深化对正切函数概念的认识,同时对正切函数的书写、表示进行规范,为下一步运用正切函数做了铺垫。

师:在直角⊿ABC中∠A与∠B什么关系?tanA与tanB有什么关系?

生:∠A+∠B=90°,tanA×tanB=1

四、交流总结

师: 梯子的陡缓程度与tanA有什么关系?

生:∠A越大,tanA的值越大,梯子就越陡.

师:有研究表明:当梯子与地面的夹角在60°-----75°时,梯子摆放最安全。你想知道这时的正切值是多少吗?我们后面就能解决这个问题.

五、学以致用

师:正切有很多用处,其中之一经常用来描述山坡的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比值称为坡度或坡比).

生:阅读课本脚注,了解坡度的含义,加强对正切的理解.

例1、 如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自

动扶梯比较陡?

解:甲梯中, tanα = .

乙梯中, tanβ =

因为tanβ>tanα,所以乙梯更陡.

设计意图:设计这个例题目的就是让学生初步学会运用”正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生好学生解题步骤,培养良好的解题习惯。

例2、 在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.

设计意图:设计这个例题的目的一是巩固正切的计算,二是渗透勾股定理的应用.

六、课时小结

通过这节课的学习,我们有哪些收获?

生1:正切的定义.

生2:梯子的倾斜程度与tanA的关系.

生3:数形结合的思想.设比值法.

七、达标检测

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=1,则tanA= _______.

2、在Rt△ABC中,三边都同时扩大100倍,则锐角∠A的正切值( )

A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定

3、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______tanB=__________.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.

5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

6、一个直角三角形两边长分别为3、4,则较小的锐角的正切值是________.

设计意图:6个检测题,既有正切的应用也有正切的理解.既有直接求也有间接求.既结合了勾股定理又渗透了比值法,还体现了分类思想,全面考察学生对正切的把握情况.

教后反思

本节课从生活中实际问题引入,提出问题,解决问题,在解决问题的过程中出现分歧,有的用角度的大小比较梯子的陡缓,有的用比值的大小比较梯子的陡缓,怎样建立二者的统一成为本节课的一个关键点,自然而然引入正切的定义.正确理解正切的含义是解决问题的关键.适当的练习可以加强对正切的理解和应用.

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