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数学:最新2013版第3单元-圆复习课件(北师大版九年级上)

发布时间:2013-12-19 14:41:45  

数学·新课标(BS)

第3章复习2┃ 知识归类

┃知识归纳┃
1.确定圆的要素 圆心确定其位置,半径确定其大小.只有圆心没有半径, 虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没

有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确 定;只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.
2.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在 圆内.

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第3章复习2┃ 知识归类 点在圆外,即这个点到圆心的距离 大于 半径; 点在圆上,即这个点到圆心的距离 等于 半径; 点在圆内,即这个点到圆心的距离 小于 半径. 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r 来比较得到. (2)设⊙O的半径是r,点P到圆心的距离为d,则有

d<r?点P在圆内;
d=r?点P在圆上;

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第3章复习2┃ 知识归类 d>r?点P在圆外. [点拨] 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半 径之间的关系;反过来,也可以通过这种数量关系判断点与圆 的位置关系.

3.垂径定理
(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所 对的 弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径;②结论中的“平分 弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.

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第3章复习2┃ 知识归类
(2)垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的弧. 4.圆的旋转不变性 (1)中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心为 圆心 . (2)探究圆中角的一些性质 定理1:在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧相等,所对的弦相等. 定理2:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相 等.

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第3章复习2┃ 知识归类

5.圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角的定义:顶点在圆上,且角的两边还与圆相交的角 叫做圆周角. [注意] 圆周角有两个特征:角的顶点在圆上,两边在圆内的 部分是圆的两条弦.

(2)圆周角与圆心角的关系:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
(3)圆周角的性质 性质:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等 .

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第3章复习2┃ 知识归类 直径所对的圆周角是 是 直径 . 直角 ;90°的圆周角所对的弦

[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”;“等弧” 指“在同圆或等圆中相等的弧”;“同弧或等弧”不能改为

“同弦或等弦”.
6.确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 7.三角形的外接圆

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第3章复习2┃ 知识归类 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接 圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角 形的 外心 . 8.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离

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第3章复习2┃ 知识归类
位置 关系

相离

相切

相交

图 形

公共 点个数 数量 关系

0
d>r

1
d=r

2
d<r

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第3章复习2┃ 知识归类 [易错点] 将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线 的距离. 9.圆的切线的性质及判定 性质:圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. 10.三角形的内切圆

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第3章复习2┃ 知识归类 和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作出一 个,这个圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形角平 分线的交点,叫做三角形的 内心 . [注意] 对一个确定的三角形来说,其内切圆有且只有一个, 其内心也有且只有一个:内心就是内切圆的圆心.

11.圆与圆的位置关系
在同一平面内两圆作相对运动,可以得到下面五种位置关

系,其中R和r为两圆半径(R≥r),d为圆心距.

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第3章复习2┃ 知识归类

位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

公共点个数 0 1

d与R和r的关系

d>R+r
d=R+r

2
1 0

d<R+r
d=R-r 0≤d<R-r

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第3章复习2┃ 知识归类
[注意] (1)两圆内含时,若 d 为 0,则两圆为同心圆. (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形, 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线. 12.弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式

nπR 半径为 R 的圆中,n° 的圆心角所对的弧长 l= 180
(2)扇形的面积公式 n 半径为 R,圆心角是 n° 的扇形面积是 S 扇形= πR2; 360

.

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第3章复习2┃ 知识归类
1 lR 2 半径为 R,弧长 l 的扇形面积是 S 扇形=
.

13.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 .

(2)如果圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形 的半径为 l ,扇形的弧长为 2πr .
(3)圆锥侧面积为 πrl .

[点拨] 圆锥的侧面展开图的形状是扇形,它的半径等于圆 锥的母线长,它的弧长是圆锥底面圆的周长.

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第3章复习2┃ 考点攻略

┃考点攻略┃
? 考点一
例1

确定圆的条件

[2010·河北] 如图X3-4,在5×5正方形网格中,一

条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
A.点P B.点Q C.点R D.点M

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第3章复习2┃ 考点攻略

[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上,由 图可以看出圆心应该是点Q.

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第3章复习2┃ 考点攻略

方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时,只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可,没有必要作出第三条线段的垂直平分 线.事实上,三条垂直平分线交于同一点.

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点二 垂径定理及其推论

例2 如图X3-5,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于D点, 且AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为( D )

A.5 cm
B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm

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第3章复习2┃ 考点攻略

[解析] D 连接AO,因为OC⊥AB,所以AD=BD=3 cm ,因 为OD=4 cm,在直角三角形ADO中,由勾股定理可以得到AO=5

cm,所以OC=5 cm,所以DC=1 cm. 数学·新课标(BS)

第3章复习2┃ 考点攻略
方法技巧 (1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的,该定理及其推论是 证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据.利用垂径定理常作 “垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段, 如本 例);(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起,进行有关圆的半径、圆 心到弦的距离、 弦长等数量的计算. 这些量之间的关系是 r =d
2 2 2

?a? +? ? ?2? ? ?

(其中 r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离,a 为弦长).

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

例3 如图X3-6,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A =30°,∠APD=70°,则∠B等于( C )

A.30°
B.35°

C.40°
D.50°

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第3章复习2┃ 考点攻略

[解析] C =40°.

由三角形的外角求得∠C=40°,所以∠B=∠C

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点四 圆心角与圆周角

例4 如图X3-7,点A,B,C在⊙O上,AB∥CO,∠B =22°,则∠A=________°. 44

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第3章复习2┃ 考点攻略

[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍,得 ∠O=2∠B=44°,又因为AB∥CO,所以∠A=∠O=44°.

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第3章复习2┃ 考点攻略

方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系,因此,最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化,从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法.当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路.在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造.

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点五 与圆有关的开放性问题

例5 如图X3-8,在边长为2的圆内接正方形ABCD中, AC是对角线,P为边CD的中点,延长AP交圆于点E.

(1)∠E=________度;
(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形,并说明理由; (3)求弦DE的长.

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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] (1)由题目可知∠E=∠ACD,因为四边形 ABCD 是正方 形,所以∠ACD=45° ,所以∠E=∠ACD=45° . (2)当对应角相等的时候, 两个三角形相似, 由圆的性质可知∠E =∠ACD,∠EDP=∠CAP,所以△ACP∽△DEP. AP AC (3)因为△ACP∽△DEP, 所以 = , 因为 P 是 CD 的中点, DP DE 1 所以 CP=DP= CD=1, 由勾股定理分别求出 AP= 5, AC=2 2, 2 代入比例式算出 DE= 2 10 . 5

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第3章复习2┃ 考点攻略
解:(1)45 (2)△ACP∽△DEP. 理由:∵∠AED=∠ACD,∠APC=∠DPE, ∴△ACP∽△DEP. AP AC (3)∵△ACP∽△DEP,∴ = . DP DE 又 AP= AD2+DP2= 5, AC= AD2+DC2=2 2, 2 10 ∴DE= . 5

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点六 圆与圆的位置关系的判别

例6 ⊙O1 的半径为3 cm,⊙O2 的半径为5 cm,圆心距 O1O2=2 cm,两圆的位置关系是( C )

A.外切
C.内切 D.内含

B.相交

[解析] C 两圆内切.

圆心距O1O2=2 cm是两圆的半径之差,所以

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点七
例 7

计算扇形面积

如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为

“等边扇形”.则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C ) A.π B.1 C.2 2 D. π 3

[解析] C 扇形的面积等于弧长乘以半径的一半,所以此扇形 1 的面积为 ×2×2=2. 2

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点八 计算弧长

例8 如图X3-9,已知正方形的边长为2 cm,以对角的两 个顶点为圆心,2 cm长为半径画弧,则所得到的两条弧长度之

和为________cm(结果保留π). 2π

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第3章复习2┃ 考点攻略

1 [解析] 两段弧长的和是以 2 cm 为半径的半圆的弧长.即 2 ×2×π×2=2π.

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点九
例9

圆的切线性质

如图 X3-10,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 为

直径的⊙O 交 AC 于点 D,过点 D 的切线交 BC 于 E. 1 (1)求证:DE= BC; 2 (2)若 tanC= 5 ,DE=2,求 AD 的长. 2

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[解析] 连接BD,则在Rt△BCD中,BE=DE,利用角的互 余证明∠C=∠EDC.

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第3章复习2┃ 考点攻略
解:(1)证明:连接 BD, ∵AB 为直径,∠ABC=90° ,∴BE 切⊙O 于点 B. 又因为 DE 切⊙O 于点 D,所以 DE=BE, ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90° , ∴∠EBD+∠C=90° ,∠BDE+∠CDE=90° , 1 ∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴DE= BC. 2 1 (2)因为 DE=2,DE= BC,所以 BC=4. 2

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第3章复习2┃ 考点攻略
AB 在 Rt△ABC 中,tanC= , BC 5 所以 AB=BC· =2 5. 2 在 Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2= ?2 5?2+42

=6. 又因为△ABD∽△ACB, AD AB AD 2 5 所以 = ,即 = , AB AC 6 2 5 10 所以 AD= . 3

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方法技巧 圆的切线性质有很多,可以总结为:与圆相切一直线,只有一 个公共点;切点圆心相连接,垂直切线是必然;切线上面取一点, 此点圆心相互联;如若垂直圆切线,此点切点零相间(此句指此点与 切点之间距离为零).

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点十 例10 圆的切线的判定方法

如图X3-11,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,

以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD.

(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连接ED,试证明ED与⊙O相切.

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[解析] 先由勾股定理求出AB,再利用相似求出BC.只要证 明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切,利用直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半得到等边转化为等角,进而算出∠ODE是 直角.

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解:(1)∵AB 是直径,∴∠ADB=90° . ∵AD=3,BD=4,∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC,∠A=∠A, ∴△ADB∽△ABC, AD DB 3 4 20 ∴ = ,即 = ,∴BC= . AB BC 5 BC 3 (2)证明:连接 OD,在 Rt△BDC 中, ∵E 是 BC 的中点,∴CE=DE,∴∠C=∠CDE. 又 OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,

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又∵∠OBD+∠DBC=90° ,∠C+∠DBC=90° , ∴∠C=∠OBD,∴∠BDO=∠CDE. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90° , ∴∠BDC=90° ,即∠BDE+∠CDE=90° , ∴∠BDE+∠BDO=90° ,即∠ODE=90° , ∴ED 与⊙O 相切.

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方法技巧 在涉及切线问题时,常连接过切点的半径,要想证明一条直线 是圆的切线,常常需要作辅助线.如果已知直线过圆上某一点,则 作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径;如果直线与圆的公共 点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等 于半径.

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第3章复习2┃ 考点攻略 ? 考点十一 例11 圆锥面积问题

如图X3-12,已知Rt△ABC的斜边AB

=13 cm,一条直角边AC=5 cm,以直线AB为轴旋转一周

得一个几何体.求这个几何体的表面积.

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[解析] 首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥,共用一 n 个底面,表面积即为两个圆锥的侧面积之和.根据 S 侧= πR2 或 S 360


=πrl 可知,用第二个公式比较好求,但是得求出底面圆的半径,

因为 AB 垂直于底面圆的半径, Rt△ABC 中, OC· 在 由 AB=BC· AC 可求出 r,问题就解决了.

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第3章复习2┃

考点攻略

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第3章复习2┃ 考点攻略

解:在 Rt△ABC 中,AB=13 cm,AC=5 cm,∴BC=12 cm. BC· AC 5×12 60 ∵OC· AB=BC· AC,∴r=OC= = = . AB 13 13 60 1020 ∴S 表=πr(BC+AC)=π× ×(12+5)= π cm2. 13 13

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方法技巧 对于这类由多个几何体拼接而成的几何体,在求它们的侧面积 或体积时,可以根据其特点适当“分割”求解,再求和.

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