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1.1你能证明它们吗_(3)

发布时间:2013-12-19 16:40:05  

北师大课标九上·§1.1 (3)

1.1 你能证明它们吗(三)

等腰三角形的性质:
定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角

推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线 互相重合 (三线合一)

结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°
结论2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半. 结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高 结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等. 结论5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. 判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.

想一想

(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成 了等边三角形? (2)你认为有一个角等于600的等腰三角形 是等边三角形吗?你能证明你的结论吗? 把你的证明思路与同伴进行交流.

做一做 ?定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600. A 求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), ∴∠C=∠B=600.(等边对等角) ∴∠A=600(三角形内角和定理)
B
600

C

∴∠A=∠B(等式性质).
∴ AC=CB(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).

回顾与反思
?定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A

在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). 600 ∴△ABC是等边三角形 B (有一个角是600的等腰三角形是等边 三角形).

C

这又是一个判定等边三角形的根据之一

做一做

?定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形.
A

证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=AC,(等角对等边). B 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义)

C

回顾与反思
?定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
A

在△ABC中,


∵∠A=∠B=∠C(已知), 三角形是等边三角形).

B

C

∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的

命题猜想
操作:用两个含有300角的三角尺, 你能拼成一个怎样的三角形?
?1
300 300 300 300

300

300

?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.

300角所对 的直角边与斜边有怎样的大小关系?
?由由此你想到,在直角三角形中,

300

结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等 于斜边的一半.

能证明你的结论吗?

命题的证明 ?定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那 A 么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300 30 1 AB. 求证:BC=
0

2

B

C

D

分析:突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD


∠ACB=900 (已知),

命题的证明 ∴∠ACD=900(平角意义) A 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC(作图) 300 ∠ACB=∠ACD(已证) AC=AC(公共边) B C D ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴ AB=AD ∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是 等边三角形) 1 1 ∴BC= BD= AB(等式性质).
2

2

回顾反思
?定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那 么它所对的直角边等于斜边的一半.

在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. 1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中,

B
300

300角所对的直角边等于斜边的一 半).

A

C

推论: : AC : AB ? 1: 3 : 2 BC

例题解析
例.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a, D 求腰上的高. A
2a 2a B
150 150

C

解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个 外角等于与它不相邻的两内角的和). 1 ∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等 2 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

随堂练习
1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,

∠A=300,CD⊥AB,垂足为D.
求证:BD=AB/4.
C
300 你能规范地写出 证明过程吗?你 的证题能力有所 提高吗?

B

D

A

2.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线 上的 一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N, (1)求证:MD=MN

课堂小结
? ? ?

?
?

等边三角形的判定: 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
C 300 D A

B
? ?

A

B

300

300

C

老师提醒: 反证法还认识你吗?

课后 作业

P14习题1.3 1,2,3题.


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