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1.2_直角三角形(2)

发布时间:2013-12-19 16:40:05  

北师大课标九上·§1.2 (2)

1.2 直角三角形(2)

复习与回顾

美国第十七任总统的证法
s1 ? 1 (a ? b)(a ? b) ? 1 (a 2 ? 2ab ? b 2 ) 2 2 ? a ? b ? ab
1 2 2 1 2 2

s2 ? ab ? ab ? c ? ab ? c
1 2 1 2 1 2 2 1 2

2

c c
b

a

s1 ? s2
1 2

a ? b ? ab ? ab ? c
2 1 2 2 1 2 2 2 2

2

a

b

a ?b ?c

想一想

(a+b)2 ; 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 c2 +4?ab/2 b c ∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2 a a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2 a b c a

b

a

c

b
c

想一想

大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4?ab/2+(b- a)2

c2



∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2 a c b

c

c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2

a

c a

c

想一想 ?判断下列命题的真假,并说明理由: ?两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;

?斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
?两直角边对应相等的两个直角三角形全等; ?一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等.

引入新知

设矩形的对角线AC与BD的交点为O,那么BO 是直角△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC 有什么大小关系?
A O B D A O

C

B

C

定理:直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半
∵∠ABC=90°,OA=OC ∴AC=2BO 或 OA=OB=OC

引入新知

特殊的直角三角形的性质:
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.

引入新知

如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.

三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等.
勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理逆定理:
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.

问题讨论 从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不 去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.另一个醉汉 教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多 不少刚好进去了. 知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程.(只列不解)

设:竹竿 x尺,得

? x ? 4?

2

? ? x ? 2? ? x
2

2

引入新知

直角三角形全等的判定定理及其三种语言
?定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

(斜边,直角边或HL).

?如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ?∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ?∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
B B′

C

A C′

A′

问题讨论 用三角尺作角平分线
?如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使

OM=ON; ?再过点M作OA的垂线, ?过点N作OB的垂线,两垂线交于点P, 那么射线OP就是∠AO

B的平分线. O
?请你证明OP平分∠AOB.
?先把它转化为一个纯数学问题:

A
M

● ●
N


P

?已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. ?求证:∠AOP=∠BOP.

B

问题讨论 ?如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.
?增加AC=BD; ?增加BC=AD; ?增加∠ABC=∠BAD

C

D

O
A B

; ?增加∠CAB=∠DBA ;

?你能分别写出它们的证明过程吗? ?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?
?你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?

?你能分别写出它们的证明过程吗?

问题讨论
四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会 会标如图,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成 的一个大正方形,若大正方形的面积为20,每个小直角三角形两 条直角边的和是6,求中间小正方形的面积.

4 4

1 2

拓展:若有一个矩形长为5,宽为4,请你把它 分割成6块,使得这6块拼成一个正方形.

定理1 直角三角形的两个锐角互余. 定理2 在直角三角形中,两条直角 边的平方和等于斜边的平方. 定理3 在直角三角形中,如果 一个 锐角等于30°,那么它所对 的直角边等于斜边的一半. 定理4 直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半 特殊图形

课堂小结 直角三角形全等的判定定理: ? 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等(斜边,直角边或HL). ? 公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). ? 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS). ? 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA). ? 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角 形全等(AAS). ? 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: ? 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ? 两边对应相等的两个直角三角形全等;
?

课后练习 A ?1.已知:如图,D是△ABC的BC边 上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足 分别为E,F,且DE=DF. ?求证: △ABC是等腰三角形. F 分析:要证明△ABC是等腰三角形, D B 就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;

E C

而△BDF≌△CDE的条件: BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可 证.

课后练习 ?2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, D 垂足分别为E,F,DE=BF. ?求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD. 分析:(1)要证明AE=CF,
A C F

E
B

由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF.可证 得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE. 由此AE=CF可证. (2)要证明AB∥CD, 需要证明内错角∠A=∠C; 而由△ABF≌△CDE可得证.

老师期望:请将证明过程规范化书写出来.

独立 作业

P24习题1.5 3题.

祝你成功!


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