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1.4角平分线(2)

发布时间:2013-12-19 16:40:07  

1.证明三角形的三条角平分线交于一点。

2.应用角平分线定理解决数学问题。

角平分线上的点到这个角的两边距
离相等. A D ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意,

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的
两边距离相等).

1 2

P
E B

C

在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.

A D ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知), 且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个 O
1 2

P
E B

C

角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上).

用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:1.在OA和OB上分别截取 OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于 DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线. E

A
C

O

D

B

作三角形的三个内角的角平分线,你发现了什么?

发现:三角形的三个内角的角平分 线交于一点.这一点到三角形三边

的距离相等.

剪一个三角形纸片,通过折叠找出每个角的角平分 线,观察这三条角平分线,你是否发现同样的结论?与 同伴交流.

结论:三角形三个角的平分线相 交于一点. 怎样证明这个 结论呢?
点拨:要证明三条直线相交于一点,只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。

命题:三角形三个角的平分线相交于一点. 已知:如图,设△ABC的角平分线. BM、CN相交于点P, 求证:P点在∠BAC的角平分线上. A M F E C

N

D P B

证明:过P点作PD⊥AB,PF⊥AC,
PE⊥BC,其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上

∴PD=PE
同理:PE=PF.∴PD=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上

∴△ABC的三条角平分线相交于点P.

定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三边的距离相等. A

如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的 三条角平分线,且PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC(已知), B

ND

P E

M F
C

∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平

分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一

这个交点叫做三角形的内心.

随堂练习 1

挑战自我
A

如图,在△ABC中,已知

AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分
线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. C D B

E

老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.

1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻 的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的 点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一 边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?
A C

B

老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平 分线交于一点,这个的点叫做三角

形的傍心,这样点有 三个。

? 定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. ? 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上. ? 定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心). ? 三角形一个内角和与它不相邻的两个外 角的平分线交于一点, 这个的点叫做三 角形的傍心.这样点有三个.

小结

拓展

D O 1 2

A P C

E

B

独立作业 1

习题1.9

?1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分 线. ?求证:BD=2CD.

A

B

D

C

老师期望:你能写出规范的证明过程.

独立作业 2 ?2.已知:如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相 交于点F. ?求证:点F在∠DAE的平分线上. A C F E

B D

老师期望:养成用数学解释生活的习惯.

独立作业 3 ?3.已知:如图,P是∠AOB平分线上 的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别 C,D. ?求证: ?(1)OC=OD; ?(2)OP是CD的垂直平分线.

A
C O D P

B

老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自 己的认知结构中去.

下课了!

结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰,因果相应,言必有据. 这是初学证明者谨记和遵循的原则.


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