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1.2_直角三角形(1)

发布时间:2013-12-19 16:40:10  

北师大课标九上·§1.2 (1)

1.2直角三角形(1)

想一想

?如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文 献中又称为毕达哥拉斯定理(pythagoras theorem).
c
a 弦




b

勾股定理的证明
?方法一:

拼图计算 ?方法二:割补法 ?方法三:赵爽的弦图 ?方法四:总统证法 ?方法五:青朱出入图 ?方法六:折纸法 ?方法七:拼图计算

这些证法你还能 记得多少?你最喜 欢哪种证法?

勾股定理的证明
这个证明方法出自一位总统, 1881年,伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面 积公式. 图中三个三角形面积的和是 2×ab/2+c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; c c 比较可得:c2 = a2+b2 . a b a

b

伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来,人们为了 纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就

把这一证法称为“总统”证法.

勾股定理逆定理
?如果三角形两边的平方和等于第三边平方,



么这个三角形是直角三角形.
?已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
?求证:△ABC是直角三角形.

B
a C c

b (1)

A

逆定理的证明
?已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. ?求证:△ABC是直角三角形.

B a C B′ a C′ c b (1) c b (2) A′ A

△A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则 A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). ∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ ∴ AB=A′B′(等式性质).

?证明:作Rt

AB2=A′B′2(等式性质).

∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠A=∠A′= 900(全等三角形的对应边).

∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).

勾股定理逆定理

?勾股定理的逆定理
?如果三角形两边的平方和等

B a C

于第三边平方, 那么这个三角 形是直角三角形.
?在△ABC中 ?∵AC2+BC2=AB2(已知),

c
A

b (1)

?∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方

和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).

这是判定直角三角形的根据之一.

命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形. 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的 关系?与同伴交流. 再观察下面两组命题: ?如如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如如果两个角相等,那么它们是对顶角如; ?如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;

?上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类 似的关系吗?与同伴进行交流.

命题与逆命题
?在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那

么这两个命题 称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 逆命题. ?你能写出命题“如果两个有理数相等, 那么它们 的平方相等”的逆命题吗? ?它们都是真命题吗?

?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命
题还是假命题?

定理与逆定理
?一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. ?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.

?我们已经学习了一些互逆的定理,如: ?勾股定理及其逆定理, ?两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. ?你还能举出一些例子吗?

?想一想:

?互逆命题与互逆定理有何关系?

动手试一试
如图(单位:英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘

蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则
在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多 少?


A12 B


12

30

本课小结
?

?

? ?

勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西 方文献中又称为毕达哥拉斯定理 (pythagoras theorem). 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.

本课小结
?命题与逆命题

?在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分

别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命 题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命 题的逆命题. ?定理与逆定理 ?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.

动手试一试

A

?1.如图,在△ABC中,已知AB=13cm, BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证:AB=AC. 证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知), B C ∴ BD=5cm(等式性质). D ∴ 在△ABD中, ∵ AD2+BD2=122+52=144+25=169, AB2=132=169, ∴AD2+BD2=AB2. ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三 边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52=144+25=169, ∴AC2=AB2. ∴AB=AC(等式性质).

动手试一试 B ?2.房梁的一部分如图所示,其中 B1 BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是 多少?B1C1呢? A 3 0 C C 1 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知 ∴ ), BC=AB/2=10÷2=5(在直角三角形中, 如果有一个
0

锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),

又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐 ∴CB1=BC/2=5÷2=2.5(在直角三角形中, 如果有一个
锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 角互余),

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).

动手试一


∴B1C1=AB1/2=7.5÷2=3.75(在直角三角形中, 如果有一个
锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
D1 A1 B1

?3.如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲 从正四棱柱的底面上的点A沿棱 柱侧面到点C1处吃食物,那么它 需要爬行的最短路径是多少?

C1

D
A B

C

动手试一试

D1
A1 B1 D A
2 2

C1

解:如下图,将四棱柱的侧面 展开,连结AC1,
∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),

B
2

C

? AC1 ?

AC ? CC1 ? 10 ? 8
2

? 164 ? 2 41?勾股定理?.
答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 2 41 cm.

老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其 转化为平面图形来解决.

课后 作业

P22习题1.4 3,4题.


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