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北师大版九年级上一元二次方程学案

发布时间:2013-12-19 16:40:17  

第二章 一元二次方程

花边有多宽(1)

学习目标:

1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2、会识别一元二次方程及各部分名称。

一,自主探究

活动内容:

问题一:一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m。 根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?你能根据条件列出关于这个量的什么关系式?

2

问题二:你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗? 得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么?

根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?

二,总结归纳

活动内容:

归纳一元二次方程的概念:结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念:含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。 经过整理后,一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0),即它的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式:(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程,则有a≠0; (2) 若a≠0(b、c可以为零),则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程,满足三个条件:①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程;③二次项系数不能为零。简而言之是指经化简后,若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ,则为一元二次方程,否则不是。

三,学以致用

活动内容:

1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.

易错易混点

1. 下列关于x的方程:(1) ax2+bx+c=0 ;(2)a?

3223?5;(3)2x2?x?3?0;a(4)x?2x?x?0中,一元二次方程的个数是( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 判断方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x的一元二次方程。

(1)一变:若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元二次方程,则m应满足_________。

(2) 二变:若方程m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x的一元一次方程,则m的值为__________。

3. m为何值时,关于x的方程?m?1?xm2?1?3mx?2?0是一元二次方程?

四,课堂小练

【基础训练】(100分)

1、一元二次方程的一般形式是_________________(a,b,c为常数,a≠0)二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.

2、填表

3、请在一元二次方程的后面打“√”

(1)7x2-6x=0 ( ) (2)2x2-5xy+6y=0 ( )

(3)2x2-1-1 =0 ( ) (4)x2+2x-3=1+x2 ( ) 3x

4、如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?(只列方程)

5.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为8m,宽为5m.如果地毯中央长方

2形图案的面积为18m ,则花边多宽? (只列方程)

五,反思总结

活动内容:

让学生通过本节课的学习,自己归纳本节的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑?

课后练习:

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( )

A. ax2+bx+c=0 B. k2x+5k+6=0 C. 321x?x??0 D. (m2+3)x2+2x-2=0 342

2. 若下列方程是关于x的一元二次方程,求出m的取值范围。

2(1) ?2m?1?x??m?1?x?5; (2) ?m?1?x4m?2?27mx?3?0

3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2005

年底增加到363公顷,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是( )

A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1-x)2=300

4. 某种产品,原来每件产品成本是700元,由于连续两次降价,现在成本为448元,如果

每次降低成本的百分数相同,求每次降低成本百分之多少?若设每次降低成本的百分数为x,则第一次降低成本后的成本为___________,第二次降低成本后的成本为____________,这样可列方程得__________________。

5. 已知:直角三角形的周长为2?6,斜边上的中线长为1,试求这个直角三角形的面

积。

6. 如图 Y2—01①所示,用一块长80cm,宽60cm的薄钢片,在四个角上截去四个相同

的小正方形,然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm2的没盖的长方体盒子。想一想:应怎样求出截去的小正方形的

边长?

若设小正方形的边长为x cm,那么这个

盒子的底部的长及宽分别为

_______________cm和________cm,根

据题意,可得方程__________________Y2—01 整理成一般形式得________________。

第二章 一元二次方程

花边有多宽(2)

学习目标:

1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型,继续深化对一元二次方程的认识。

2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程,促进学生对方程解的理解,发展学生的估算意识和能力。

一,复习回顾

活动内容:在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程: ?8?2x??5?2x??18,即:2x2?13x?11?0;

?x?6?2?72?102,即:x2?12x?15?0。

发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决?你能求出各方程中的x吗?

二,情境引入

活动内容:1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线,不知什么原因中间有一处不通,现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查,你怎样快速的找到这一处断裂处?与同伴进行交流。

2、在前一节课的问题中,我们若设地毯花边的宽为x(m),得到方程:?8?2x??5?2x??18,即:2x2?13x?11?0;

(1)x可能小于0吗?说说你的理由.

(2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由,并与同伴进行交流.

(3)完成下表:

(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流.

三,做一做

活动内容:上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程,即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程?x?6??72?102,把这个方程化为一般形式为2

x2?12x?15?0

(1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?

(2)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么?

(3)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?

(4)x的整数部分是几?十分位是几?

四,练习提高

活动内容:五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗?

【基础训练】(100分)

1、把下列一元二次方程化为一般形式

2x(x?4)?1 _____________________,(x-2)2=5 ______________________,

2、方程2x?23x?1?0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) 2

A、2、 313、?1 ; B、2、 ?3、?1 ; C、2、 ?、?1 ; D、2、 ?、 222

22223、4(x?1)(x?2)?5,x?y?1,5x?10?0,2x?8x?0中,

一元二次方程的个数为 ( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

4、观察下列等式:

12?02?1、22?12?3、32?22?5、42?32?7??,用

含自然数n的等式表示这种规律为

5、从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,

横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.

【探究提高】(20分)

6.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.

五,课堂小结

活动内容:互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键,以及在求解(或近似解)时应注意的问题。

学习自评

1. 下列方程中是一元二次方程的是( )

①ax2=bx;②?3211x?2x?;③ ?x?2??2x?1??0;④x2??2?0;⑤23x

y2??y?1;⑥?x?3??x?1??x2?8

A. ①②④⑥ B. ② C. ①②③④⑤⑥ D. ②③

2. 某学校计划在一块长8米,宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块

栽花,使矩形四周的草地的宽度都一样,求四周草地的宽度应为多少?设矩形四周留下草地的宽为x米,根据题意下列方程不正确的是( )

A. 48-(16x+12x-4x2)=16 B. 16x+2x(6-2x)=32

C. (8-x)(6-x)=16 D. (8-2x)(6-2x)=16

3. 若关于x的一元二次方程?a?1?x?x?a?1?0的一个根是0,则a的值为( ) 22

A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 1 2

4. 某地2004年外贸收入为2.5亿元,2006年外贸收入达到了4亿元,若平均每年的增长

率为x,则可列出方程为( )

A. 2.5(1+x)2=4 B. (2.5+x%)2=4 C. 2.5(1+x)(1+2x)=4 D. 2.5(1+x%)2=4

5. 若关于x的方程?m?2?xm?2x?3?0是一元二次方程,则m=_______________。

6. 方程x2-2x-1=0的近似解是__________________.(结果精确到十分位)

7. 当x_______时,代数式x2-4x+3的值等于0.

8. 某高新技术生产的生产总值,两年内由50万元增加到75万元。若每年产值的增长率相

同,设增长率为x,则可列方程为_____________。

a2?b2

9. 已知a≠0,a≠b,且x=1是方程ax+bx-10=0的一个解,则的值是____________。 2a?2b2

10. 已知:方程m?4x?6?m?2?x?3m?4?0,当m_________时,它是一元二次方22??

程,当m________时,它是一元一次方程。

11. 一口井直径为1.5米,用一根竹竿直插入井底,竹竿高出井口半米,如果把竹竿斜插入

井口,竹竿刚好与井口平。(如图Y2—02所示)

求竹竿的长度,设竹竿长x米,则井深为

___________米,可列方程为

___________________。

12. 已知x=1是关于x的方程x2-ax+1=0的根,化简:

a2?2a?1?9?6a?a2。

13. 一个长方形的周长是30cm,面积是54cm2,求这

个长方形的长和宽。 Y2—

02 Y2—03

14. 在宽20m,长32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路。把耕地分成大小相等的六块

试验地,要使试验地总面积变为570m2,那么道路的宽应为多少米?

第二章 一元二次方程

配方法(1)

学习目标:

1、会用开方法解形如(x?m)2?n(n?0)的方程,理解配方法,会用配方法解二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程;

2、经历列方程解决实际问题的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型,增强学生的数学应用意识和能力; 一,复习回顾

活动内容:1、如果一个数的平方等于4,则这个数是 ,若一个数的平方等于7,则这个数是 。一个正数有几个平方根,它们具有怎样的关系?

2、用字母表示完全平方公式。

3、用估算法求方程x2?4x?2?0的解?你喜欢这种方法吗?为什么?你能设法求出其精确解吗?

二,情境引入

活动内容:(1)工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100CM2正方形,请你帮他想一想,这个正方形的边长应为 ;若它的面积为75CM2,则其边长应为 。

(2)如果一个正方形的边长增加3cm后,它的面积变为64cm2,则原来的正方形的边长为 。若变化后的面积为48cm2呢?(小组合作交流)

(3)你会解下列一元二次方程吗?(独立练习)

x2?5; (x?2)2?5; x2?12x?36?0。

(4)上节课,我们研究梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2?12x?15?0,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?(合作交流)

三,讲授新课

活动内容1:做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方)

填上适当的数,使下列等式成立。(选4个学生口答)

x2?12x?_____?(x?6)2 x2?6x?____?(x?3)2

x2?8x?____?(x?___)2 x2?4x?____?(x?___)2

问题:上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?对于形如x2?ax的式子如何配成完全平方式?(小组合作交流)

活动内容2:解决例题

(1)解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)

(2)解决梯子底部滑动问题:x2?12x?15?0(仿照例1,学生独立解决)

活动内容3:及时小结、整理思路

用这种方法解一元二次方程的思路是什么?其关键又是什么?(小组合作交流)

活动内容4、应用提高

例3:如图,在一块长和宽分别是16米和12米的长方

形耕地上挖两条宽度相等的水渠,使剩余的耕地面积等于

原来长方形面积的一半,试求水渠的宽度。

四,练习提高

活动内容:解下列方程

(1)x2?10x?25?7;(2)x2?6x?1;(3)x(x?14)?0(4)x2?8x?9

六,课堂小结

活动内容:师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键,以及在应用配方法时应注意的问题。

【基础训练】(100分)

21.x-8x + =(x - ___ )2

2.一元二次方程 x2 - 16 = 0的解为 ( )

A. x=4 B. x1=4, x2=-4 C. x=-4 D. x1=2, x2=-2

3、用配方法解下列方程,正确的是( ).

A.x2-2x-99=0, 化为 (x-1)2 = 98

B.x2-2x-99=0, 化为 (x+1)2 = 98

541C.x2 -5x–4 = 0, 化为 (x-)2 = 44

541D.x2 -5x–4 = 0, 化为 (x-)2 = 24

4.如果二次三项式x2-6x+m2 是一个完全平方式,那么m的值是( )

A. 9 B. 3 C . -3 D. ±3

5. 解方程:25(x+1)2 - 49=0

6.解方程:x2-10x+25=7

第二章 一元二次方程

配方法(2)

学习目标:

①经历配方法解一元二次方程的过程,获得解二元一次方程的基本技能; ②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程,体会其中的化归思想;

一,复习回顾

活动内容:回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。

例如,x2-6x-40=0

二,情境引入

活动内容:1.将下列各式填上适当的项,配成完全平方式口头回答.

1.x2+2x+________=(x+______)2

2.x2-4x+________=(x-______)2

3.x2+________+36=(x+______)2

4.x2+10x+________=(x+______)2

5. x2-x+________=(x-______)2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=0

2.3x2+18x+24=0

探讨方程2的应如何去解呢?

三,讲授新课

活动内容1:讲解例题

例2 解方程3x2+8x-3=0

活动内容2:应用提高:

做一做:一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度?

四,练习与提高

活动内容:课本习题2.4第1题

印度古算术中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮。告我总数有多少,两队猴子在一起?大意是说:一群猴子分两队,一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方,另一队猴子数是12,那么猴子的总数是多少?请同学们解决这个问题。

五,第五环节:课堂小结

活动内容:1.学生总结解一元二次方程的基本步骤;

2.利用一元二次方程解决实际问题的思路,对于结果的理解。

课堂小测:

【基础训练】(100分)

1. +16x + = 2(x+4)2

2.如果x2- 10x + y2- 16y + 89 = 0, 则x= , y= .

3、用配方法解下列方程,正确的是( ).

A.x2-4x-12=0, 化为 (x-2)2 = 12

B.x2-4x-12=0, 化为 (x+2)2 = 16

557C.2x2 -5x–4 = 0, 化为 (x-)2 = 416

525D.2x2 -5x–4 = 0, 化为 (x-)2 = 416

4.某企业计划用两年时间把上缴利税提高44%;若每年比上一年 提高的百分率相同,则可得方程

解得: x=

5.用配方法解方程: 0.4x2-0.8x = 1

216. 解方程: y2?y?2?0 33

第二章 一元二次方程

公式法

学习目标:

①能够正确的导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.

③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力。

一,回忆巩固

活动内容:

①用配方法解下列方程:(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0

②由学生总结用配方法解方程的一般方法:

二,公式推导

活动内容:

提出问题:解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)

主要问题通常出现在这样的几个地方:

(1)22bc运算的符号出现错误和通分出现错误 中bbbcx2?x?()2?2??0?2?4aaa2a4aa

(2)不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时,两边才能开平方

(3)两边开平方,忽略取“±”。 ?b?b2?4ac公式法:一元二次方程的求根公式:x?2a(b2-4ac≥0),步骤如下:

(1) 把方程化为一般形式,进而确定a、b、c的值(注意符号)

(2) 求出b2-4ac的值,(先判别方程是否有根)

?b?b2?4ac(3)在b-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入求根公式,求出2a2的值,

最后写出方程的根。

三,练一练,巩固新知

活动内容:

1、判断下列方程是否有解:(口答)

(1) 2x2+3=7x (2)x2-7x=18 (3)3x2+2x+1=0(4)9x2+6x+1=0

(5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0

2、上述方程如果有解,求出方程的解

3、课本随堂练习2.

一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数,求这个三角形的三条边长。

三,收获与感悟

活动内容:

提出问题:

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?

2、用公式法解方程应注意的问题是什么?

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧?

第五环节:布置作业

用公式法解下列方程

2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4

x2-2x+2=0

列方程解应用题

1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?

2、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

3、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,

(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元? (2)选作题每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?

第二章 一元二次方程

分解因式法

学习目标:

1、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性;

2、会用分解因式法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程;

一,复习回顾

内容:1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 。

3、选择合适的方法解下列方程:

①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0

二,情境引入

问题: 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果能,这个数是几?你是怎样求出来的?

说明:如果ab=0,那么a=0或b=0,“或”是“二者中至少有一个成立”的意思,包括两种情况,二者同时成立;二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。

★分解因式法:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个因式的乘积时,令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程,分别解之,得到的解就是原方程的解,这种解方程的方法称为分解因式法。一般步骤如下:

(1) 把方程整理使其右边化为0;

(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积;

(3) 令每个因式分别等于零,得到两个一元一次方程;

(4) 解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

三,例题解析

内容:解下列方程 (1)、 5X2=4X

(2)、 X-2=X(X-2) (3)、 (X+1)2-25=0

问题:1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流)

2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成)

四,巩固练习

内容:1、解下列方程:(1) (X+2)(X-4)=0

(2 ) X2-4=0

(3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数?

3、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的速度h(m),与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2 小球何时能落回地面?

4、一元二次方程(m-1)x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0,求m 的值

五,感悟与收获

内容:师生互相交流总结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想?

【基础训练】(100分)

1.一元二次方程x2–2x = 0的解是(

A、0 B、0或2 C

D、此方程无实数解

2.方程x(x+3)=(x+3)的根为

A、x1=0,x2=3 B、x1=0,x2=-3

3.解方程:(x-2)(x+3)=0

4.解方程:x2?6x?9?0

5.解方程:(x?2)2?(2x?3)2

、2 C、x=0 D、x=-3 )

第二章 一元二次方程

为什么是0.618(1)

学习目标:

①通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

②经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,从中感受到数学学习的意义;

③能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力; 第一环节;回忆巩固,情境导入

活动内容:提出问题:①记得黄金分割

中的黄金分割点和黄金比吗?是多少?怎么

求出来的?

②学习了一元二次方程之后,能否从方

程的角度来解决这个问题呢?

分组讨论,怎么设未知数?在这个问题中存在怎样的等量关系?如何利用比例式来列方程?

第二环节 做一做,探索新知

活动内容:

1、数字问题

问题:有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其和等于20,积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到多少钱? A C B E D

巩固练习:

一块面积是600m2的长方形土地,它的长比宽多10m,求长方形土地的长与宽。①教师指出上题中的线段MN叫做△ABC的中位线,请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线?并在在练习本上画出△ABC的一条中位线DE

②学生思考:三角形有几条中位线?三角形的中位线与中线有什么区别? ③猜想三角形的中位线与第三边有怎样的关

系?。

2、面积问题

问题:如图,现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒?

巩固练习:

在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小相等的六块作试验田,要使试验田面积为570平方米,问道路应为多宽?

3、平均增长(或降低)率问题

问题:一商店1月份的利润是2500元,3月份的利润达到3000元,这两个月的利润平均月增长的百分率是多少(精确到0.1%)?

巩固练习:

若设每年平均增长的百分数为x,分别列出下面几个问题的方程.

(1)某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍,求每年平均增长的百分率.(把原来的总产值看做是1)

(2)某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元,求每年平均增长的百分数.

(3)某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍,求每年增长的百分数. (把原来的总产值看做是1)

第三环节:练一练,巩固新知

活动内容:1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条,剩下的长方形钢板的面积为4800 cm2。求原正方形钢板的面积。

2、某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几?

第四环节:收获与感悟

活动内容: 问题:

1、列方程解应用题的关键

2、列方程解应用题的步骤

3、列方程应注意的一些问题

作业:

【基础训练】(100分)

1.如果点C为线段AB上的点(其中AC>BC),且有______________,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.

2.某车间1月份生产m个零件,以后每个月都比上一个月增长的百分数是x,则3月份生产______________个零件.

3.一个两位数,它的数字之和为9,如果十位数字为x,那么这个两位数是__________;把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数,则这个数与原数的差是___________.

24.从正方形纸片上截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm,则原正方形纸片的面积

是( )

A. 68cm B. 86cm C. 64cm D. 56cm

5.某商品连续2次降价10%后的价格为a元,则该商品的原价为( ) A. 2222aa2 B. 1.1a元 C. 元元 D. 0.81a元 20。811.1

6.某药品原来每盒售价96元,由于两次降价,现在每盒54元,则平均每次降价的百分数为多少?

【探究提高】(20分)

6.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。若点P、Q分别从点A、B同时出发,经

2过多少时间,使△PBQ的面积等于8cm?

第二章 一元二次方程

为什么是0.618(2)

学习目标:

①通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程。

②经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型,从中感受到数学学习的意义;

③能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力; 第一环节;前置诊断,开辟道路

活动内容:

请同学们回忆并回答利用方程解决实际问题的步骤和关键是什么?

第二环节:做一做,探索新知

活动内容:

4、数形结合问题

见课本P63页例1:

如图:某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头。一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)

E F C

巩固练习:

如图:在Rt△ACB中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,

几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?

8cm A P

Q C

5、利润问题 6cm B

新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元。市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的降价应为多少元?

巩固练习:

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个。调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?

请你利用方程解决这一问题。

6探索与创新:

一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少?

第三环节:练一练,巩固新知

活动内容:

1、如图:在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2厘米

/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后

△PBQ的面积等于8平方厘米?

2、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经试销发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

第四环节:收获与感悟

活动内容:

通过两节课的学习,你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗?有哪些收获?

【基础训练】(100分)

1.某厂今年3月份的产值为50万元,5月份上升到72万元,这两个月平均每月增长的百分率是多少?若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是( )

2A. 50(1+x)=72 B. 50(1+x)+50(1+x)=72

2C. 50(1+x)×2=72 D. 50(1+x)=72

2. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值为175亿元,二月、三月平均每月的的率是多少?若设平均每月增长的百分率为x,根据题意可列出方程为( )

22A. 50(1+x)=175 B. 50+50(1+x)+50(1+x)=175

22C. 50(1+x)+50(1+x)=175 D. 50+50(1+x)=175

3. 某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾、外送50元打的费”的广告,结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是__________元。

4.某商场进价为每价40元的商品,按每件50元出售时,可卖出500件,若商品每件涨价1元,则销售减少10件.设销售单价为x元,那么

(1)

(2)

(3)

(4)

销售量可以表示为______________; 销售额可以表示为______________; 所获利润可以表示为_______________; 当销售单价为多少元时,可以赚取8000元的利润?请给出解答过程.

【探究提高】(20分)

6.朦朦兔兔超市在销售中发现:“贝佳”牌童衣平均每天可售出60件,每件赢利40元.为了迎接“元旦”,超市决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加赢利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童衣每降价5元,那么平均每天可多销售30件.要想平均每天在销售这些童衣上赢利3600元,那么每件童衣应降价多少元?

《一元二次方程》复习学案

一、知识梳理

1. 一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且所含未知数的最高次数是二次的方程,叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般式:ax2?bx?c?0(a?0)

3. 解一元二次方程的一般方法有:

(1) 直接开平方法:适用可化为形如(x-h)2=k(k≥0)的方程

(2) 配方法: 注意两点:

①首先将二次项系数变为1;

②方程两边各加上一次项系数一半的平方,这是配方法的关键一步,方程左边配成完全平方式,当右边是非负实数时,用开平方法即可求得方程的解. ?b?b2?4ac(3) 公式法:x?(a?0,b2?4ac?0) 2a

(4) 因式分解法.

4.一元二次方程根与系数的关系:若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根为:

bcx1,x2,则 x1?x2??, x1?x2?. aa

5.一元二次方程的应用

二、基础训练

1. 在下列方程中,一元二次方程的个数是( ).

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2-

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个. 5=0 x

2. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式其中二次项系数 ,常数项 .

3. 当m时,方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 当m时,方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.

4.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0,则m的值是.

5.一元二次方程3x2=2x的解是.

6.已知x2-2x-3与x+7的值相等,则x的值是________.

7.方程x(x-1)=2的两根为( ).

A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1

C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2

8.把方程x2-4x-6=0配方,化为(x+m)2=n的形式应为( ).

(A)(x-4)2=6 (B)(x-2)2=4

(C)(x-2)2=0 (D)(x-2)2=10

9.关于x的方程kx2?3x?1?0有实数根,则K的取值范围是 ( )

99 B、k??且k?0 44

99C、k?? D、k??且k?0 44A、k??

10.解下列方程

(1) 2(x-3)2=72 (2)x(x-1)=3-3x

(3)

x2??2 (4)3x2+x=1

(5)x2-x-12=0 (6) 2x2?8x?1?0

11.请写出两根分别为-2,3的一个一元二次方程_________ .

12.方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.

13.市计划经过两年时间,绿地面积增加44%,?这两年平均每年绿地面积的增长率是( ).

(A)19% (B)20% (C)21% (D)22%

14.右图是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙(墙长18米),

另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150

m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______ .

15在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,?制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400cm2,设金色纸边的

宽为xcm,?那么x满足的方程是( ).

(A)x2+130x-1 400=0

(B)x2+65x-350=0

(C)x2-130x-1 400=0

(D)x2-65x-350=0

16.商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,?为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,?如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.

①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降

价多少元?

②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.

三、提高练习

1.方程?m?2?xm?3mx?5?0是关于x的一元二次方程,则( )

A.m=?2 B. m=2 C. m= ?2 D.m??2

2. 已知x1,x2是方程x?6x?3?0的两实数根,则2x2x1?的值为______ x1x2

3.一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。如果梯子的顶端下滑1 m,梯子的底端滑动x m,可得方程 。

4.阅读下面的例题

解方程x?|x|?2?0

解:(1)当x≥0时,原方程化为x?x?2?0,

解得:x1?2,x2??1(不合题意,舍去).

(2)当x<0时,原方程化为x?x?2?0,

解得:x1?1(不合题意,舍去),x2??2.

∴ 原方程的根是x1?2,x2??2.

请参照例题解方程x?|x?1|?1?0

课本 P70 1、 P71 2、3、4

222

四、考点研究

近年考查一元二次方程主要有:

(1)对一元二次方程及方程的解等概念的理解,主要从利用方程的根求解待定

字母等方面命题;

(2)一元二次方程根的情况,一元二次方程根与系数的关系;

(3)解一元二次方程及一元二次方程的应用。

1.(2007湖北武汉)如果2是一元二次方程x2=c的一个根,那么常数c是( )。

A、2 B、-2 C、4 D、-4

22.(2007

安徽芜湖)已知2是一元二次方程x?4x?c?0的一个根,则方程的另一

个根是 .

3.(2007广州)关于x的方程x?px?q?0的两根同为负数,则( ) 2

A.p>0且q>0 B.p>0且q<0

C.p<0且q>0 D.p<0且q<0

4.(2006黑龙江)若关于x的方程2x2?3x?c?0的一个根是1,则另一个根是__________

课后练习:

1.将方程(2x+1)(x+2)=6化成一元二次方程的一般形式得____________________,其中二次项系数是_____、一次项系数是______、常数项是________.

2.关于x的方程(a?3)x?(a?3)x?2a?1?0是一元二次方程的条件是( )

A.a?0 B.a?3 C.a?

3.填上适当的数,使下列等式成立

(1)x?6x?______?(x?____) (2)x?3x?______?(x?____)

4.请按指定的方法解下列方程:

(1)x?5?0 (2)x?2x?5?0(配方法)

(3)2x?7x?1?0(公式法) (4)x?8x?9(因式分解法) 2222222222 D.a??

5.两个数的和为2,积为-15,则这两个数为_____________.

6.三角形的两边长分别是6和8,第三边是方程x?16x?60?0的一个实数根,则该三角形的周长是( )

A. 20 B. 24 C. 20或24 D. 不能确定。

7.某农场的粮食产量为3000吨,要在两年内增加630吨,设平均每年增产的百分率为x,则根据题意,可列方程为( )

A.3000(1?x)?630 B. 3000(1?x)?3630

C. 630(1?x)?3000 D. 3630(1?x)?3000 22222

8.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克。为了促销,该经营户决定降价销售。经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克。另外,每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

【探究提高】

9.如图△ABC中,∠C=90°AB=10cm,AC=8cm,点P从点A开始出发,向点C以2cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动。若P、Q分别同时从A、B出发,几秒后四边形APQB是△ABC面积的

Q 2。 3

A P C

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