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1.3线段的垂直平分线(2)

发布时间:2013-12-19 16:40:21  

1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。 2.已知底边和底边上的高,能用尺规作等腰三角形。

回顾

思考
C

1.线段的垂直平分线的性质定理和 判断定理。 2.线段的垂直平分线的作法。 D A B

利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后,你发 现了什么? 发现:三角形三边的垂直平分线 交于一点.这一点到三角形三个 顶点的距离相等.

剪一个三角形纸片通过折叠找出每条

边的垂直平分线。
结论:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点。 点拨:要证明三条直线相交于一 怎样证明这个 结论呢? 点,只要证明其中两条直线的交 点在第三条直线上即可

命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。 已知:如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,

求证:点P也在AC的垂直平分线上
证明:连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB 同理,PB=PC. B A

∴PA=PC.
∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.

P

C

定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一

点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条 边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三 个顶点的距离相等).

a c B

A

b
C

P

1.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角 形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置.

锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内; 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上; 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。

A

2.已知:△ABC中,AB=AC,AD是 BC边上的中线,AB的垂直平分线 交AD于O 求证:OA=OB=OC.
证明: ∵AB=AC,AD是BC的中线, ∴AD垂直平分BC(等腰三角形底 边上的中线垂直于底边). 又∵AB的垂直平分线与交于点O ∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂 直平分线交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等).

O

B

D

C

(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角 形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗? 这样的三角形有无数多 个.观察还可以发现这 已知:三角形的一条边a和这边上的高h 些三角形不都全等. 求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h

A h B a D A1 h

A C
B a C (D A1

A

B)

a C

h D

A1

(2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形
吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直

平分线上的点到线段两个端点的距离相等,只要作
底边的垂直平分线,取它上面除底边的中点外的任 意一点,和底边的两个端点相连接,都可以得到一

个等腰三

角形.
如图所示,这些三角形不都全等.

(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等 腰三角形吗?能作几个? 这样的等腰三角形只有两个,并且它 们是全等的,分别位于已知底边的两侧. 所以满足这一条件的三角形是唯一确

定的。
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?

已知:线段a、h

求作:△ABC,使

a h

AB=AC,BC=a,高AD=h 作法:1.作BC=a; 2.作线段BC的垂直平分线MN交 BC于D点; 3.以D为圆心,h长为半径作弧

M
A

交MN于A点;
4.连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形

B

D

C

N

1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰三角形。

a 这个等腰三角形有什么特征? 温馨提示: 先分析,作出示意图形,再按要求去作图.

2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个 大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中 心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中 P,Q,R表示)的距离相等.
P● (1) Q● R● Q●

P●
R● (2)

(1)根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置; (2)如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝 角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置? (3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?

1.证明了定理:三角形三条边的垂

直平分线相交于一点,并且这一
点到三个顶点的距离相等。 c 2.已知等腰三角形的底边和底边 上的高作等腰三角形 B

a

A b

P

C


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