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第二章 一元二次方程

发布时间:2013-09-21 13:45:38  

九年级数学(上)第二章 一元二次方程
4.分解因式法(1) 一元二次方程解法

回顾与复习 1

配方法

?我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的

助手:

?平方根的意义: 如果x2=a,那么x= ? a . ?完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.

回顾与复习 2

配方法

用配方法解一元二次方程的步骤: ?1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); ?2.移项:把常数项移到方程的右边; ?3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; ?4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; ?5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; ?6.求解:解一元一次方程; ?7.定解:写出原方程的解.

心动

不如行动

公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)

? 一般地,对于一元二次方程
当b 2 ? 4ac ? 0时, 它的根是 :

? b ? b 2 ? 4ac 2 ?x ? . b ? 4ac ? 0 . 2a

?

?

?上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. ?用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). ?老师提示: ?用公式法解一元二次方程的前提是: ?1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). ?2.b2-4ac≥0.

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小颖是这样解的 :
解 : x 2 ? 3x ? 0.
3? 9 ?x ? . 2

小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 ? 3x两 边都同时约去x, 得. ?x ? 3.

? 这个数是0或3.
小颖做得对吗?

? 这个数是3.
小明做得对吗?

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3x.
小亮是这样想的 : ? 0 ? 3 ? 0,?15 ? 0 ? 0, 0 ? 0 ? 0. 反过来, 如果a ?b ? 0, 那么a ? 0或b ? 0 或a ? b ? 0. 即, 如果两个因式的积等于0,
那么这两个数至少有一个为0.

小亮是这样解的 :
解 :由方程x 2 ? 3x, 得 x 2 ? 3x ? 0. ? x?x ? 3? ? 0. ? x ? 0, 或x ? 3 ? 0. ? x1 ? 0, x2 ? 3. ? 这个数是0或3.
小亮做得对吗?

我思

我进步

分解因式法

? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.

?老师提示:
?1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; ?2. 关键是熟练掌握因式分解的

知识; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”

例题欣赏

?

分解因式法

? 用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : ?1?.5 x 2 ? 4 x ? 0, ?分解因式法解一元二次方程的步骤是: x?5x ? 4? ? 0. ?1.化方程为一般形式; ? x ? 0, 或5x ? 4 ? 0. ?2. 将方程左边因式分解; 4 ? x1 ? 0; x2 ? . ? 3. 根据“至少有一个因式为 5 零”,转化为两个一元一次方程. ?2?.x ? 2 ? x?x ? 2? ? 0, ? 4. 分别解两个一元一次 ?x ? 2??1 ? x? ? 0. 方程,它们的根就是原方 程的根. ? x ? 2 ? 0, 或1 ? x ? 0.

? x1 ? 2; x2 ? 1.

学习是件很愉快的事
?

淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.

你能用分解因式法解下列方程吗?
1 .x2-4=0;

解:1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.

这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?

动脑筋
?

争先赛

?1?.?x ? 2??x - 4? ? 0, ?2?.4 x?2 x ? 1? ? 3?2 x ? 1?. 解 :?1??x ? 2? ? 0,或?x - 4 ? 0 ?. .
? x1 ? ?2; x2 ? 4. ?2?.4 x?2x ? 1? ? 3?2x ? 1? ? 0,

1.解下列方程:

?2x ? 1??4x - 3? ? 0,
? 2 x ? 1 ? 0, 或4 x ? 3 ? 0. 1 3 ? x1 ? ? , x2 ? . 2 4

想一想
?

先胜为快

一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解:设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.

2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.

7 ? x1 ? 0, x2 ? . 2

我最棒

,用分解因式法解下列方程
? 参考答案:

7.2( x ? 3) ? x?x ? 3?; 8.( x ? 1) 2 ? 3?x ? 1? ? 2 ? 0; 9.x ? 12 x ? 27 ? 0; 10.2( x ? 3) 2 ? x 2 ? 9 .
2

x 2 ? (5 ? 2 ) x ? 5 2 ? 0 ; 1. ?1?.x1 ? ?5; x2 ? 2. x 2 ? ( 3 ? 5 ) x ? 15 ? 0 ; ?2?.x1 ? 5; x2 ? ? 3. 2. ?3?.x1 ? 3; x2 ? 2. 3.x 2 ? (3 ? 2 ) x ? 18 ? 0; 1 4 2 ?4?.x1 ? ? ; x2 ? ? . 4. (4 x ? 2) ? x(2 x ? 1) 2 5 7 ?5?.x1 ? ?2; x2 ? . 5.3x( x ? 2) ? 5( x ? 2); ; 4 3 2 ?6?.x1 ? ?2; x2 ? . 6.(3x ? 1) ? 5 ? 0; 3 ?7?.x1 ? ?3, x2 ? ?6. 2

?

?

?8?.x1 ? 0; x2 ? 1. ?9?.x1 ? ?3, x2 ? ?9. 1 3 ?10?.x1 ? ; x2 ? ? .
4 4

开启

智慧

二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解

? 我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如:

x 2 ? 6 x ? 9 ? ( x ? 3) 2 ; x 2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)( x ? 3);?
? 但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?

4 x 2 ? 12 x ? 9 ? ? .

3x 2 ? 7 x ? 4 ? ??.

观察下列各式,也许你能发现些什么

解方程 : x 2 ? 7 x ? 6 ? 0得x1 ? 1, x2 ? 6; 而x 2 ? 7 x ? 6 ? ( x ? 1)( x ? 6);

解方程 : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0得x1 ? ?3,

x2 ? 1; 而x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 3)( x ? 1); 3 3 而4 x 2 ? 12 x ? 9 ? 4( x ? 3 )( x ? 3 2 解方程 : 4 x ? 12 x ? 9 ? 0得x1 ? , x2 ? ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x ? 7 x ? 4 ? 0得x1 ? ? , x2 ? ?1; 而3x ? 7 x ? 4 ? 3( x ? )( x ? 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ?

开启

智慧

二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解

?一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式 法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. ? 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).

?1?.x 2 ? 7; ?2?.3 y 2 ? y ? 14. 解 : ?1?.? 一元二次方程 解 : ?2?.? 一元二次方程
x2 ? 7 ? 0 的两个根是x1 ? 7 , x2 ? ? 7 .
3 y 2 ? y ? 14 ? 0 7 的两个根是y1 ? ?2, y2 ? . 3 7 2 ? 3 y ? y ? 14 ? 3( y ? 2)( y ? ). 3

把下列各式分解因式 :

? x 2 ? 7 ? ( x ? 7 )( x ? 7 ).

小结

拓展

回味无穷

? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式 的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式 解一元二次方程的方法称为分解因式法.
?

分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是 熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”

?
? ? ? ? ?

因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.

独立 作业

知识的升华
1、P62习题2.7 1,2题;

祝你成功!

独立 作业
1.?4 x ? 1?(5 x ? 7) ? 0; 2.3x?x ? 1? ? 2 ? 2 x;
3.( 2 x ? 3) 2 ? 4(2 x ? 3);

解下列方程
? 参考答案:
1 7 ?1?.x1 ? ; x2 ? ? . 42 5 ?2?.x1 ? ? ; x2 ? 1. 3 3 1 ?3?.x1 ? ? ; x2 ? . 2 2 ?4?.x1 ? 3; x2 ? 9.

4.2( x ? 3) 2 ? x 2 ? 9;

5.5( x 2 ? x) ? 3( x 2 ? x); 2 2 6.( x ? 2) ? ?2 x ? 3? ; 7.( x ? 2)?x ? 3? ? 12; 8.x 2 ? 5 2 x ? 8 ? 0.

?5?.x1 ? 0; x2 ? 4. 1 ?6?.x1 ? ?5; x2 ? ? . 3 ?7?.x1 ? ?1, x2 ? 6. ?8?.x1 ? 4 2; x2 ? 2.

下课了!
?

结束寄语

?

配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解,. 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.


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