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24.1.2_垂直于弦的直径(2)

发布时间:2013-12-20 11:41:11  

24.1. 2垂直于弦的
直 径 (2)

垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C

∵ CD是直径,CD⊥AB
O · A

∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B









E D

看图说话
C

O · A E D B

直观 发现

CD是直径, AE=BE

即平分弦(不是直径)的直

C

O ·

推理 发现
B

A

E D

∴ CD⊥AB,

AC =BC,





AD =BD.





垂径定理推论
平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C

∵ CD是直径, AE=BE
O · A

∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B









E D

C

(1)如何证明?
已知:如图,CD是⊙O的直径, AB为弦,且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证:CD⊥AB,且AD=BD, AC =BC
证明:连接OA,OB,则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
O · E D B

⌒ ⌒ ∴ AD=BD,

⌒ ⌒ AC =BC

平分弦(不是直径)的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)“不是直径”这个条件能去掉吗?如 果不能,请举出反例。
C A O · B D

定理
推论1 推论2 推论3 推论4

垂径定理的再发现
C

推论5
推论6 推论7 推论8
A E

·
D

O

B

推论9

垂径定理推论1
弦的垂直平分线经过圆心,并
且平分弦所对的两条弧。
A

C

·
E
D

O

B

①垂直于弦;
③平分弦;

}

②过圆心; 推论1 ④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧。

垂径定理推论2
垂直弦并且平分弦所对优弧的

C

·
A

O

的直线,过圆心、平分弦且平分弦
所对的劣弧。
①垂直于弦;

E
B D

④平分弦所对的优弧;

}

②过圆心; 推论2
③平分弦; ⑤平分弦所对的劣弧。

垂径定理推论3
垂直弦并且平分弦所对劣弧的

C

·
A

O

的直线,过圆心、平分弦且平分弦
所对的优弧。
①垂直于弦; ⑤平分弦所对的劣弧。

E
B D

}

②过圆心; 推论3 ③平分弦; ④平分弦所对的优弧;

垂径定理推论4


C

注意

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
④ ⑤ ② ① A

·
E

O

B D

②过圆心; ③平分弦;

①垂直于弦;
推论4

}

④平分弦所对的优弧 ;
⑤平分弦所对的劣弧。

垂径定理推论5
平分弦所对优弧的直径,垂直 平分弦,并且平分弦所对的劣弧。
A

C

·
E
D

O

B

②过圆心; ④平分弦所对的优弧;

}

①垂直于弦;

推论5

③平分弦; ⑤平分弦所对的劣弧。

垂径定理推论6
平分弦所对劣弧的直径,垂直 平分弦,并且平分弦所对的优弧。
A

C

·
E
D

O

B

②过圆心;

①垂直于弦;

⑤平分弦所对的劣弧。

}

推论6

③平分弦; ④平分弦所对的优弧;

垂径定理推论7
平分弦且平分弦所对优弧的直 线,过圆心、垂直弦且平分弦所对 的另一条劣弧。
①垂直于弦; ③平分弦; ④平分弦所对的优弧;
A

C

·
E
D

O

B

}

推论7

②过圆心; ⑤

平分弦所对的劣弧。

垂径定理推论8
平分弦且平分弦所对劣弧的直 线,过圆心、垂直弦且平分弦所对 的另一条优弧。
①垂直于弦; ③平分弦; ⑤平分弦所对的劣弧。
A

C

·
E
D

O

B

}

推论8

②过圆心; ④平分弦所对的优弧;

垂径定理推论9
平分弦所对的两条弧的直线, 经过圆心,并且垂直平分弦。
A

C

·
E
D

O

B

④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧。

①垂直于弦;

}

推论9

②过圆心;

③平分弦;

结论
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直径来说。如果具备
(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦

(4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧

上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。

1、如图,⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,

点C是AB的中点,则OC的长为



A

C · O

B

2、 下列命题错误的是(



A、平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B、平分弦的弦垂直于这条弦 C、垂直于弦的直径平分这条弦 D、弦的中垂线过圆心

再 见


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