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人教版数学26.1.1二次函数课件

发布时间:2013-12-20 13:43:56  

人教版26.1.1二次函数
教科书 第2页-第3页

基础回顾

什么叫函数?

在某变化过程中的两个变量x、y,当变量x 在某个范围内取一个确定的值,另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y,我们把y叫x的函数。 x叫自变量,
目前,我们已经学习了那几种类型的函数?

y=kx+b (k≠0)

变 量 之 间 的 关 系

一次函数

正比例函数

y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数

y=k/x (k≠0)

二次函数

第2页问题
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①

第2页 问题1
(n-3) 条 点不相邻的各顶点,可以作
对角线.

多边形的对角线数d与边数n有什么关系? 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与

因为像线段MN与NM那样,连接 M N 相同两顶点的对角线是同一条对 角线,所以多边形的对角线总数 1 ②式表示了多边形的 d ? n n?3 对角线数d与边数n之 2 间的关系,对于n的每一 1 2 3 即d? n ? n② 个值,d都有唯一的对应 2 2 值,即d是n的函数。

?

?

第3页

20(1+x)

20 (1+x)

2

观察: 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
d ? 1 n2 ? 3 n② 2 2

y ? 20 x2 ? 40 x ? 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。

定义:一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量,a为二次项 系数,ax2叫做二次项,b为一次项系数,bx叫做一 次项,c为常数项。

(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量 注意: x的 整式。

(2)a,b,c为常数,且 a≠0.
(3 )等式的右边最高次数为 2 ,可以没有 一次项和常数项,但不能没有二次项。 (4)x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式

二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式:
– 当b=0时, y=ax2+c – 当c=0时, y=ax2+bx – 当b=0,c=0时, y=ax2

1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 (1) y=-x2+58x-112 (2)y=πx2 2、指出下列函数y=ax2 +bx+c中的a、b、c (1) y=-3x2-x-1 (2) y=5x2-6

(3) y=x(1+x)

例1、下列函数中,哪些是二次函数?若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x-1)2 +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t2 (4) y=(x+3)2 -x2 1 __ -x (5)y= (6) v=8π r2 x2

+1 解: (1)y=3(x-1)2 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4

(4) y=(x+3)2 =x2+6x+9-x2 -x2

即 y=6x+9
不是二次函数.

是二次函数. 1 (5)y= __ -x 二次项系数: 3 x2 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 1 (2) y=x+

__ 不是二次函数. (6) v=8π r2 x 是二次函数. (3) s=3-2t2 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3

思考:2. 二次函数的一般式y= ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)有什么 联系和区别?
联系(1)等式一边都是ax2+bx+c且 a ≠0 (2)方程ax2+bx+c=0可以看成是 函数y= ax2+bx+c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0

知识运用
例1:下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (不是 ) (3)y=3x3+2x2
( 不是 )

(2)y=3x2

(是

)

(4)y=2x2-2x+1( 是

)

(5)y=x-2+x (不是 )

(6)y=x2-x(1+x) (不是 )

知识运用
例2:m取何值时,

m ? 2m ?1 函数y= (m+1)x
2

+(m-3)x+m 是二次函数?
解:由题意得

m2—2m-1=2 m+1 ≠0

∴m=3

现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y=

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。

k (k≠0) , x

想一想

函数y ? ax ? bx ? c(其中a, c是常数), b,
2

当a, c满足什么条件时 b, (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数 ?

解:(1)a? 0
(2)a ? 0, ? 0 b

(3)a ? 0, ? 0,c ? 0 b

m2-7 例2、y=(m+3)x

(1)m取什么值时,此函数是正比例函数?
(2) m取什么值时,此函数是反比例函数?

(3) m取什么值时,此函数是二次函数?
解:(1)当m2-7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正 比例函数。 (2)当m2-7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函 数。 (3)当m2-7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。

教科书 第3页 练习

1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队 数 n 之间的关系式. 1 1 2 1 m ? n?n ? 1? 即 m ? n ? n 2 2 2

3、下列函数中,(x是自变量),是二次函数 的有 B C 。

A y=ax2+bx+c
C y=x2

B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1

4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数

C

)

m,n是常数,且n≠0

一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园,和墙垂直的一边长为x m,菜园的面积为y m2, 求y与x之间的函数关系式,并说出自变量的取值范围。 当x=12m时,计算菜园的面积。 解:由题意得: y =x(40-2x)

即: y =-2x2+40x(0<x<20) 当x=12m时,菜园的面积为:(40-2x )m y =-2x2+40x=-2×122+40×12 =192(m2)

x m

y

m2

x m

在实践中感悟
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n - 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数,求m、n的值。
2m+n=2②∵ 2

m+n=1 ① ∵ m-n=1
∴ ③∵

2m+n=2

2m+n=2 2m+n=0
④ ∵ ⑤ ∵

m-n=2


m-n=2


m-n=0


m-n=2


m=1 n=0

m=1 n=-1

m=4/3 n=-2/3

m=2/3 n=2/3

m=2/3

n=-4/3

练习 教科书 第14页 习题26.1

复习巩固

1

2


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