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人教版26.1.2二次函数y=ax2的图像课件

发布时间:2013-12-20 13:44:05  

人教版26.1.2二次函数 2的图像 y=ax
第4页—第6页

1、二次函数的一般形式是怎样的? y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)

2.下列函数中,哪些是二次函数?
① ③

y?x

2
2

y ? x?x

1 ② y?x ? x
2

④ y?x ?
2

x ?1

1 2 ⑤ y ? x ? 2x ? 4 3

学习目标
? ?

1.认识形如y=X 的二次函数函数。 2 2.利用描点法画出y=x 其图像。
2

直线 双曲线 (1) 一次函数的图象是一条_____,反比例函数的图象是________.

(2) 通常怎样画一个函数的图象? 列表、描点、连线

(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢?

结合图象讨论 性质是数形结合的 研究函数的重要方 法.我们得从最简 单的二次函数开始 逐步深入地讨论一 般二次函数的图象 和性质.

你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表:
x … -3 -2 -1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 …

y=x2 …



描点,连线

y
10 8 6 4

y=x2

?
-4 -3 -2 -1

2 0 -2 1 2 3 4 x

二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线

y?x

2

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

议一议

y

y?x
x

2

观察图象,回答问题:
(1)图象是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?
O

(2)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的? (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化? 当x>0呢?

y?x

2

当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.

当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.

当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1

抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.

当x=1时,y=1 当x=2时,y=4

做一做

在学中做—在做中学

(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状? (2)先想一想,然后作出它的图象. (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
x
y=-x2




-3
-9

-2
-4

-1
-1

0
0

1
-1

2
-4

3
-9




你能根据表格中的数据作出 猜想吗



做一做

描点,连线
-4 -3 -2 -1

y 2 0

-1 -2
-4 -6

1

2

3

4

x

?

-8 -10

2 y=-x

y

y ? ?x

当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大 而增大.

2

当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.

当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1

抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.

当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4

y ? ax 2

二次函数y=ax2的性质
y ? ?ax 2

1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.

2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且

向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 原点 ,对称轴是 y轴 , 在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增大;在对称轴 左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 值是 0 时,函数y的值最小,最小 ,抛物线y=2x2在x轴的上 方(除顶点外).
2 2 y?? x 3

(2)抛物线

在x轴的 下 方(除顶点外),在对称

轴的左侧,y随着x的 增大而增大 ; 在对称轴的右侧,y 随着x的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值 是 0 ,当x


0时,y<0.

1 y ? x 2 , y ? 2 x 2 的图象. 例1 在同一直角坐标系中,画出函数 2 教科书 解:分别填表,再画出它们的图象,如图

第5页
4 · · ·

x

· -4 · ·

-3

-2

-1

0

1

2

3

y?

1 2 x 2
x

· · ·

8 8

4.5
-1.5

2 0.5
-1

0

0.5
0 0.5

2
1

4.5
1.5

8
2

· · ·
· · · · · ·

· -2 · · · · ·

-0.5

y ? 2 x2

4.5
y ? x2

2
8
6 4 2

0.5

0

0.5 2 4.5 8

y ? 2 x2

1 2 y? x 2
2 4

-4

-2

函数

有什么共同点和不同点?

1 2 y ? x , y ? 2x2 2

教科书 第5页
的图象与函数 y=x2 的图象相比,

相同点:开口都向上,顶点是原 点而且是抛物线的最低点,对称 轴是 y 轴 不同点:a 越大,抛物线的开口 越小.

y ? x2

y ? 2 x2
8 6

4
2 -4 -2 2

y?

1 2 x 2

4

探究
画出函数
2

教科书 第5页
的图象,并考虑这些抛物

线有什么共同点和不同点.

1 2 y ? ? x , y ? ? x , y ? ?2 x 2 2

你画出的图象与图中相同吗?

x

· -4 · ·

-3 -4.5 -1.5 -4.5

-2

-1

0 0

1 -0.5 0 0.5

2

3

4 -8 2

· · · · · · · · · · · ·

1 2· · y?? x · -8 2
x · -2 · · · · y ? ?2 x 2 · -8

-2 -0.5 -1

-2 -4.5 1 1.5

-0.5

-2 -0.5

0

-0.5 -2 -4.5 -8

-4 对比抛物线, y=x2和y=-x2.它 们关于x轴对称吗? 一般地,抛物线 y=ax2和y=-ax2呢?

-2 -2 -4 -6 -8

2

4

1 y ? ? x2 2

y ? ? x2

y ? ?2 x 2

一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0

时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物

下 线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向_______,顶点是抛物
大 高 线的最________点,a越大,抛物线的开口越_________.

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对

称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0

开口

对称性
顶点 增减性

例:已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表 y=-2x2 达式为 .
设抛物线为 y=ax2把点(-1,-2)代入上式得 a=-2 所以 y=-2x2

小结
1、二次函数y=ax2的图象是什么?
2、二次函数y=ax2的图象有何性质?

3、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系?

达标测试
?
?

1.已知,二次函数 y ? ax 图像经过点A(-2,4). 求出这个函数关系式。 y ? 2 2.二次函数 y ? ? 2 x 2
2

x

当x1 ? x2 ? 0时,则y1与y2的大小关系是(
?

y ?y )
1 2

3.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线 上,则线段PQ的长是( 2

y ? ?x


2

练习 教科书 第14页 习题26.1 复习巩固 3 4


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