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9.5单项式乘多项式的再认识-因式分解(一)

发布时间:2013-12-20 14:33:20  

初中数学七年级下册 (苏科版)

9.5单项式乘多项式的再认识 -因式分解(一)

计算与交流

计算:375×2.8+375×4.9+375×2.3
如何计算上面的算式?请把你的想 法与你的同伴交流。 小明很快就能报出答案,你知道他 是怎么想的吗?

小明的方法:
375×2.8+375×4.9+375×2.3 =375×(2.8+4.9+2.3) =375×10 =3750 为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3 可以写成375×(2.8+4.9+2.3)?依 据是什么? 乘法分配率

你能把多项式ab+ac+ad写 成积的形式吗?请说明你的理由 根据乘法分配律 ab+ac+ad=a(b+c+d)
换一种看法,就是把单项式乘多 项式的法则 A(b+c+d)=ab+ac+ad 反过来,就得到 ab+ac+ad=a(b+c+d)

观察多项式ab+ac+ad的每一项,

你有什么发现吗?
a是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。 一个多项式各项都含有的因式,称为 这个多项式各项的公因式。 例如a就是多项式ab+ac+ad各项的 公因式

做一做
找出下列多项式各项的公因式并填写下表
多项式
4x+4y -8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y

公因式

4 -4a 4a2b

给就上面的填表过程,你能归纳出 找一个多项式的公因式的方法吗?

总结

找一个多项式的公因式的方法一 般分三个步骤:

一看系数:当多项式的各项系数 多是整数时,公因式的系数应取 各项系数的最大公约数。 二看字母:公因式的字母应取多项 式中各项都含有的相同字母 三看指数:相同字母的指数取次数 最低的。

练一练
填表
多项式 公因式

a2b+ab2 3x2-6x3

ab
3x2 3ab

9abc-6a2b2+12ab2c

填空并说说你的方法: (1)a2b+ab2=ab( a+b ) (2)3x2-6x3=3x( X-2x2 ) (3)9abc-6a2b2+12abc2=3ab(3c-2ab+4c ) 像这样,把一个多项式写成几个 整式的积的形式叫做多项式 的因式分解。

连一连:把下面左右两列具有相等 关系的式子用线连起来 4a2b(a-2b) x2-2xy+y2 (x-y)2 m2-n2 (m+n)(m-n) 4a3b-8a2b2
观察上面从左到右与从右到左的变形 过程,你能说出因式分解和整式乘法 的区别和联系吗?

区别: 整式乘法: 有几个整式积的形式转化 成一个多项式的形式。 因式分解: 有一个多项式的形式转化成 几个整式的积的形式。 联系: 多项式的因式分解与整式乘法是两种 相反方向的变形,它们互为逆过程。

4a3b-8a2b2

4a2b(a-2b)

例1、 (1)把6a3b-9a2b2c分解因式
想一想: 1、多项式6a3b-9a2b2c各项的公因式是什么? 2、你能把多项式6a3b-9a2b2c各项写成公因 式与另一个因式的积吗?向你的同伴说说你 是如何得到另一个因式的?

总结:多项式的各项分别除以公因式 就能得到各项的另一个因式

用提取公因式分解因式的一般步骤: 第一步:找出多项式各项的公因式; 第二步:把多项式各项写成公因式

与另一个因式的积的形式;
第三步:逆用单项式乘多项

式法则写 成公因式与另一个多项式的积。

(2)把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式 解: 6a3b-9a2b2c+3a2b =3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1 =3a2b(2a-3bc+1) 注意:1、如果提取公因式与多项式中的某一项 相同,那么提取后多项式中的这一项剩下“1”结 果中的“1”不能漏写; 2、多项式有几项,提取公因式后另一项 也有几项。

(3)把-8a2b2+4a2b-2ab分解因式; 解: -8a2b2+4a2b-2ab =-(8a2b2-4a2b+2ab) =-(2ab.4ab-2ab.2a+2ab.1) =-2ab(4ab-2a+1) 当多项式第一项的系数是负数时,通常把负 号作为公因式的负号写在括号外,使括号内 第一项的系数化为正数,在提出负号 时,多项式的各项都要变号!

例2:把3a(x+y)-2b(x+y)分解因式; 分析:这个多项式就整体而言可分为两大项,

即3a(x+y)与-2ab(x+y)每项中都含有(x+y)
因此,可把(x+y)作为公因式提出来。 解: 3a(x+y)-2b(x+y)

=(x+y)×3a-(x+y)×2b
=(x+y)(3a-2b) 总结:用提公因式法分解因式时,公因式可以 是一个单项式也可以是一个多项式。

例2:分解因式 (1)x(a-b)+y(b-a) (2)6(m-n)3-12(n-m)2 分析:例2应用如下关系: (b-a)=-(a-b) (b-a)2=(a-b)2 (b-a)3=-(a-b)3 (b-a)4=(a-b)4 即:当n为正偶数时(b-a)n=(a-b)n 当n为正奇数时(b-a)n= -(a-b)n

下列各式由左到右的变形那些是因式分解

(1) ab+ac+d=a(b+c)+d

(2) a2-1=(a+1)(a-1)
(3) (a+1)(a-1) = a2-1 (4) x2+1=x(x+
1 )x

答案(1)不是;(2)是; (3)不是;(4)不是

课堂练习: 把下列各式分解因式:

(1)4x2-12x3
解:(1)4x2-12x3 =4x2.1-4x2.x =4x2 (1-x)

(2)-x2y+4xy-5y
(2)-x2y+4xy-5xy2 =-(x2y-4xy+5xy2) =-xy(x-4+5y)

计算:

2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5 解: 2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5 =52.5×(2.37+0.63-4) =52.5×(-1)

=-52.5


(2)如何找公因式?



(1)公因式与分解因式的概念;

(3)因式分解与整式乘法的区别和联系; (4)如何确定提出公因式后的另一个因式; (5)用提取公因式分解因式的一般步骤。






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