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第1章:分式

发布时间:2013-12-20 15:45:59  

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第一章 分式

要点一、分式的概念及其性质

一、选择题

1.(2010·东阳中考)使分式x

2x?1有意义,则x的取值范围是(

A.x?1111

2 B.x?2 C. x?2 D.x?

2

【解析】选D。使分式x

2x?1有意义的条件是:2x-1≠0,解得x?1

2

2.(2010·嘉兴中考)若分式3x?6

2x?1的值为0,则( )

(A)x=-2 (B)x=-11

2 ( C)x=2 (D)x=2

【解析】选D.由题意知,3x-6=0,解得x=2.

3.(2009·常德中考)要使分式1

x?1有意义,则x应满足的条件是(

A.x?1 B.x??1 C.x?0 D.x?1

答案:选B

4.(2009鄂州中考)使代数式x?3

x?4有意义的x的取值范围是( )

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

【解析】选D.由题知??x?3?0

4?0.解得x≥3且x≠4

?x?

(2009·潍坊中考)化简a2?b2

5.a2?ab的结果为( ) (A)?b

a (B)a?b

a (C)a?b

a (D)?b

【解析】选B. a2?b2(a?b)(a?b)

a2?ab=a(a?b)?a?b

a.

6.(2009·吉林中考)化简xy?2y

x2?4x?4的结果是( )

A.xxy

x?2 B.x?2 C.x?2 D.y

x?2

【解析】选D. xy?2yy(x?2)

x2?4x?4=(x?2)2?yx?2.

1 ) )

7.(2008·乌兰察布中考)若A. B. C. ,则 D. 的值是( )

答案:选A

二、填空题

8.(2009·漳州中考)若分式

答案: 2

9.(2009·.青海中考)若

答案:?3 1无意义,则实数x的值是____________. x?2|x|?3的值为零,则x的值是 . 2x?2x?3

a2?2a10.(2009·义乌中考)化简的结果是 . a

答案:

m2?4mn?4n2

11.(2009·滨州中考)化简:?. 22m?4n

答案:m?2n. m?2n

中,任选两个你喜欢的式子组12.(2008·益阳中考)在下列三个不为零的式子

成一个分式是 ,把这个分式化简所得的结果是 .

答案:答案不惟一如

;三、解答题

13.(2009·西宁中考)请从下列三个代数式中任选两个(一个作为分子,一个作为分母)构造一个分式,并化简该分式.a?1 a?a a?2a?1然后请你自选一个合理的数代入求值.

思路点拨:答案不唯一,利用分式的基本性质约分,所代入的数值不能使分式的分母为0.

14.(2007·广州中考)请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式。

a?1 ab?b b?ab

【解析】答案不唯一如: 22本题还有如下答

;. ;

22

a2?1(a?1)(a?1)a?1??. ab?bb(a?1)b

2

要点二、分式的运算

一、选择题

1.(2009·龙岩中考)计算

A.1 1x?的结果为( ) x?1x?1B.2 C.-1 D.-2

答案:选C.

(?ab)2

2.(2009·荆门中考)计算的结果是( ) a2b

A.a B.b C.1 D.-b

【解析】选B.本题考查积的乘方运算与分式的化简,??ab?

a2b2a2b2?2?b,故选B ab

3.(2009·长沙中考)分式11的计算结果是( ) ?a?1a(a?1)

1 aD.A.1 a?1B.a a?1C.a?1 a

【解析】选C 原式?a1a?11???. a(a?1)a(a?1)a(a?1)a

) 22aaaa44??aa((?4.(2009·黄冈中考)化简的结果是( aa??22aa??22aa

A.-4

答案:选A B.4 C.2a D.-2a

?x2?42?x?x5.(2009·包头中考)化简?2,其结果是( ) ????x?4x?4x?2?x?2

A.?88 B. x?2x?2C.?88 D. x?2x?2

【解析】选D. ?

2?x?2??x?2??x?2?x?2?x?2 x2?42?x?x??2??=?x?2?2xx?2x?x?4x?4x?2?x?222x?2???x?2?x?2?x?2??8. ?==?xxx?2xx?2x?2

6.(2008·年杭州市)化简

A. B. C.的结果是( ) D.

答案:选A

3

二、填空题

a29?? . 7.(2010·毕节中考)计算:a?3a?3

a2?9(a?3)(a?3)?a?3. ?【解析】原式?a?3a?3

答案:a?3

8.(2009·衢州中考)化简:

答案:1 2x1?x?? . x?1x?1

x2?4x?4x?? . 9.(2009·乌鲁木齐中考)化简:2x?4x?2

答案:2 x?2

x?yx2?y2

10.(2009·成都中考)化简:1?=_______. ?22x?3yx?6xy?9y

答案:2y x?y

三、解答题

1x+111.(2010·宜宾中考)先化简,再求值:(x – )÷ ,其中x= 2+1. xx

xx2-1【解析】原式=×=x-1 x?1x

当x= 2+1时,x-1=2+1 –2

12.(2009·株洲中考)先化简,再求值:x?33?,其中x??1. x2?9x?3

【解析】化简,得:原式=4 x?3

当x??1时,得:原式??1

x24x413.(2010·义乌中考)化简: ??x?2x?2x?2

x2?4x?4(x?2)2

【解析】原式===x?2 x?2x?2

214.(2009·凉山中考)先化简,再选择一个你喜欢的数(要合适哦!)代入求值:?1?1??x?1. ???x?x

4

1?x2?1x?1(x?1)(x?1) 【解析】????1???xxx?x??

?x?1x ?x(x?1)(x?1)1

x?1

1取x?2时,原式?2?1?1.

x2?y2

15.(2009·湘西中考)先化简再计算:?2x?y,其中x=3,y=2. x?y

(x?y)(x?y) ?2x?y(x?y)

=x+y-2x+y 【解析】原式=

=-x+2y

因为 x=3,y=2

所以原式=-3+4=1

16.(2009·安徽中考)观察下列等式:1?

(1)猜想并写出第n个等式;

(2)证明你写出的等式的正确性. 112233?1?,2??2?,3??3?,?? 223344

nn ?n?n?1n?1

n2?n?nn2nn(2)证:右边===左边,即n? ?n?n?1n?1n?1n?1【解析】(1)猜想:n?

17.(2008·资阳中考). 先化简,再求值:(【解析】原式=[==== ––× ––×]× -)÷,其中x=1.

当x=1时,

原式== 1

5

要点三、分式方程的解法

一、选择题

31=的解为( ) x?2x?1

41A.x= B.x= - C.x=-2 D.无解 52

311【解析】选B,解=得,x= -。或者把选项代入原方程检验即可。 x?2x?12

1?x1?2?2.(2009·山西中考)解分式方程,可知方程( ) x?22?x

A.解为x?2 B.解为x?4 C.解为x?3 D.无解 1.(2010·潼南中考)方程

【解析】选D.去分母得1-x+2(x-2)=-1,解得x=2,经检验x=2为增根,原方程无解.

3.(2009·孝感中考)关于x的方程2x?a

x?1?1的解是正数,则a的取值范围是( ).

A.a>-1 B.a>-1且a≠0 C.a<-1 D.a<-1且a≠-2

【解析】选D. 解关于x的方程2x?a

x?1?1得x=-1-a.由题知:???1?a?0解得a<-1且a≠-2. ?1?a?1.?

x4.(2009·上海中考)用换元法解分式方程x?1?3x?1?0时,如果设x?1?y,将原方程化为关于y的整

xx?1

式方程,那么这个整式方程是( )

A.y2?y?3?0

答案:选A.

二、填空题

5.(2010·宜宾中考)方程12 = 的解是 x–2xB.y2?3y?1?0 C.3y2?y?1?0 D.3y2?y?1?0

【解析】去分母,得x=2(x﹣2),解整式方程得x=4,经检验:x=4是原方程的根 答案:x=4

6.(2010·温州中考)当x=___________时,分式

【解析】答案:5

7.(2009·重庆中考)分式方程

答案:x=-3

8.(2009·太原中考)方程

答案:x?5

6 x+3的值等于2. x-1x+3 =2,得 x+3=2(x-1),解得x=5 x-112?的解为 。 x?1x?125?的解是 . x?12x

9.(2009·牡丹江中考)若关于x的分式方程x?a3??1无解,则a? . x?1x

【解析】x(x-a)-3(x-1)=x(x-1).当x=1时,a=1;当x=0时,a的值不存在. 答案:1

10.(2009·邵阳中考)请你给x选择一个合适的值,使方程

答案:3

11.(2009杭州中考) 已知关于x的方程21?成立,你选择的x=________。 x?1x?22x?m?3的解是正数,则m的取值范围为___ . x?2

【解析】去分母得,2x+m=3x-6,x=m+6.由题知?

答案:m??6且m??4 ?m?6?0解得m??6且m??4 m?6?2.?

12.(2008·烟台中考)请选择一组a,b的值,写出一个关于x的形如a?b的分式方程,使它的解是x?2

x?0,这样的分式方程可以是______________.

答案:答案不唯一,如

三、解答题

x2 x ─ 213. (2010·上海中考)解方程:─ ─ 1 = 0 x ─ 1x

【解析】x?x??2x?2??x?1??1?x??x?1??0 ?2?1 x?2

x2?2?x?1??x?x?1??0 2

x2?2?x2?2x?1??x2?x?0

?2x2?4x?2?x?0

2x2?5x?2?0

?2x?1??x?2??0 1∴x?或x?2 2

代入检验得符合要求

14.(2009·广东中考)解方程21??x?1 x2?1

【解析】去分母得:2=-(x+1) 解得:x=-3

2 检验:当x=-3时,分母x?1?9?1?8?0

所以原方程的解是:x=-3.

7

15.(2009·宁德中考)解分式方程:

【解析】方程两边同乘以x-4,

3-x-1=x-4 3?x1??1. x?44?x

解这个方程,得x=3

检验:当x=3时,x-4=-1≠0

∴ x=3是原方程的解

16.(2008·义乌中考)解方程:13? x2x?1

【解析】3x?2x?1 ,x?1,经检验:x?1是原方程的解

x3,B?2?1,当x为何值时,A与B的值相等? x?1x?1

x3?2?1. 【解析】当A?B时,x?1x?117.(2007·陕西中考)设A?

x3??1. x?1(x?1)(x?1)

方程两边同时乘以(x?1)(x?1),得

x(x?1)?3?(x?1)(x?1).

x2?x?3?x2?1.

x?2.

检验:当x?2时,(x?1)(x?1)?3?0.

∴x?2是分式方程的根.

因此,当x?2时,A?B.

要点四、分式方程的应用

一、选择题

1.(2009·安徽中考)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( ).

A.8 B.7 C.6 D.5

【解析】选A.设甲志愿者计划完成此项工作的天数是x.则x?3x?5??1.解得x=8. xx

2.(2009·泰安中考)某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划 8

每天加工x套,则根据题意可得方程为( )

A.160400160400?160??18 B.??18 x(1?20%)xx(1?20%)x

160400?160400400?160??18 D.??18 x20%xx(1?20%)xC.

【解析】选B.根据加工160套运动装的时间+工作效率提高20%后加工240套运动装的时间=18列方程.

3.(2007·河北中考)炎炎夏日,甲安装队为A小区安装66台空调,乙安装队为B小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x台,根据题意,下面所列方程中正确的是( )

(A)

(C)6660 ?xx?26660 ?xx?2(B)(D)6660 ?x?2x6660? x?2x

【解析】选D.根据甲安装队安装66台空调和乙安装队安装60台空调的时间相等.

4.(2010·重庆中考)含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料,A种饮料重40千克,B种饮料重60千

克现从这两种饮料中各倒出一部分,且倒出部分的重量相同,再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合.如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同,那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克

【解析】设A种饮料浓度为a,B种饮料浓度为b,倒出的重量为x,由题意的

解得x?24

答案:24

二.填空题

5.(2009·台州中考)在课外活动跳绳时,相同时间内小林跳了90下,小群跳了120下.已知小群每分钟

比小林多跳20下,设小林每分钟跳x下,则可列关于x的方程为 .

【解析】小林每分钟跳x下,则小群每分钟跳(x+20)下,小林跳90下所用时间为

小群跳120下所用时间为

答案:90

x90xbx?a?40?x?ax?b?60?x?? 4060, 12012090,因此可列方程= xx?20x?20=120 x?20

6.(2008·青岛中考)为了帮助四川地震灾区重建家园,某学校号召师生自愿捐款.第一次捐款总额为20000元,第二次捐款总额为56000元,已知第二次捐款人数是第一次的2倍,而且人均捐款额比第一次多20元.求第一次捐款的人数是多少?若设第一次捐款的人数为x,则根据题意可列方程为 . 答案:

5600020000??20 2xx9

7.(2007·益阳中考)某市处理污水,需要铺设一条长为1000M的管道,为了尽量减少施工对交通所造 成的影响,实际施工时,每天比原计划多铺设10米,结果提前5天完成任务。设原计划每天铺设管 道xm,则可得方程 。 答案:10001000??5 xx?10

三.解答题

8.(2010·潼南中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙 工程队单独施工多用30天完成此项工程.

(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?

(2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作 天(用含a的代数式表示) 可完成此项工程;

(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队 至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过 64万元?

【解析】(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲独做(x+30)天完成此项工程.

由题意得:20(

211?)=1 xx?30整理得:x-10x-600=0

解得:x1=30 x2=-20

经检验:x1=30 x2=-20都是分式方程的解,

但x2=-20不符合题意舍去

x+30=60

答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天.

(2)甲单独做a天后,甲、乙再合作(20-

此项工程.

(3)由题意得:1×a?(1?2.5)(20?)?64

解得:a≥36

答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程,才能使施工费不超过64万元

9.(2009·南充中考)在达成铁路复线工程中,某路段需要铺轨.先由甲工程队独做2天后,再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务.已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天,求 10 a)天,可以完成 3a3

甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天?

思路点拨:甲工作2天的工作量+乙工作3天的工作量=1

【解析】设甲工程队单独完成任务需x天,则乙工程队单独完成任务(x?2)天. 依题意得23??1. xx?2

化为整式方程得

x2?3x?4?0

解得x??1或x?4.

检验:当x?4和

x??1时,x(x?2)?0,

?x?4和x??1都是原分式方程的解.

但x??1不符合实际意义,故x??1舍去;

. ?乙单独完成任务需要x?2?6(天)

答:甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天.

10. (2009·长春中考)孙明与李丽共同帮助校图书馆清点图书,李丽平均每分钟比孙明多清点10本. 已知孙明清点完200本图书所用的时间与李丽清点完300本所用的时间相同,求孙明平均每分钟清点图 书多少本.

【解析】设孙明平均每分钟清点图书x本. 根据题意,得200300. ?xx?10

解这个方程,得x?20.

经检验,x?20是原方程的解.

答:孙明平均每分钟清点图书20本.

11.(2009·朝阳中考)海峡两岸实现“三通”后,某水果销售公司从台湾采购苹果的成本大幅下降.请你根据两位经理的对话,计算出该公司在实现“三通”前到台湾采购苹果的成本价格.

【解析】设该公司今年到台湾采购苹果的成本价格为x元/公斤

11

根据题意列方程得

100000100000??20000

x2x

解得x?2.5

经检验x?2.5是原方程的根.

当x?2.5时,2x?5

答:实现“三通”前该公司到台湾采购苹果的成本价格为5元/公斤.

12.(2009·梧州中考)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程,甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2,两队合做6天可以完成.

(1)求两队单独完成此项工程各需多少天?

(2)此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后,学校付给他们20000元报酬,若按各自完成的工程量

分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?

【解析】(1)设甲队单独完成此项工程需x天,由题意得

6

x? 6?12x

3 解之得x?15

经检验,x?15是原方程的解.

所以甲队单独完成此项工程需15天,

乙队单独完成此项工程需15×2=10(天) 3

(2)甲队所得报酬:20000?1?6?8000(元)

15

乙队所得报酬:20000?1?6?12000(元) 10

∴?A?70?,?B?90?,?C?140?

12

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