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28.2解直角三角形(2)

发布时间:2013-12-21 11:47:37  

新人教版九年级数学(下册)第二十八章

§28.2 解直角三角形(2)

1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.

2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); c



; (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90o (3)边角之间的关系: a sinA= c b cosA= c a tanA= b


a

b



温故而知新
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)若∠A=30°,BC=3,则AC= 3 3 (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=

3

(3)若∠A=α°,AC=3,则BC= 3tan ?

m (4)若∠A=α°,BC=m,则AC= tan ?

B

A

┌ C

例题讲解
例3: 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400km,结果精确到 0.1km)

分析:从飞船上能最远直接

看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点.
如图,⊙O表示地球,点F是飞船 的位置,FQ是⊙O的切线,切点Q是 从飞船观测地球时的最远点.弧PQ 的长就是地面上P、Q两点间的距离, 为计算 弧PQ的长需先求出∠POQ (即a)

F P

Q

α O·

解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形.

OQ 6400 ? cos a ? ? ? 0 .95 OF 6400 ? 350

F P α O· Q

? a ? 18 ?
∴ PQ的长为

18? ? 6400 ? 3 .14 ? 640 ? 2009 .6 180
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km

课内练习
1. 如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山 的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 120°,BD = 520m,∠D=30°,那么开挖点E离D多远正好能使A,C, E成一直线(精确到0.1m) 解:要使A、C、E在同一直线 B E C 上,则 ∠ABD是 △BDE 的一 A 120° 个外角 ∴∠BED=∠ABD-∠D=90°

? D E ? c o s ? B D E ?B D

DE cos ? BDE ? BD

30°

D

在进行观察或测量时,

仰角和俯角

从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线

视线
仰角 水平线

俯角 视线

例4: 热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
分析:我们知道,在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角,因此, 在图中,a=30°,β=60°
A 仰角 水平线

B
α β D

Rt△ABD中,a =30°,AD=120, 所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C

BD;类似地可以求出CD

,进而求出BC.

解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.

? tan a ?

BD CD , tan ? ? AD AD
B α A β D

? BD ? AD ? tan a ? 120 ? tan 30?

3 ? 120 ? ? 40 3 3
CD ? AD ? tan ? ? 120 ? tan 60 ?

? 120 ? 3 ? 120 3
? BC ? BD ? CD ? 40 3 ? 120 3

? 160 3 ? 277 .1
答:这栋楼高约为277.1m

C

1.(2010·青海中考)如图,从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为 150米,且点A、D、B在同一直线上,建筑物A、B间的距离 为( C ) A.150 3 米 C.200 3 米 B.180 3 米 D.220 3 米

练习
2. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角60°,观察底部B 的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中


A B

AC tan ?ADC ? DC

D

45° 60° 54° 40m

C

∴AC=DC×tan∠ADC

? tan60? ? 40 ? 1.73 ? 40 ? 69.2
所以AB=AC-BC=69.2-40=29.2 答:棋杆的高度为29.2m.

3.(2010·鄂州中考)如图,一艘舰艇在海面下500米A点
处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出, 继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角 为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出,求海底黑匣 子C点距离海面的深度(结果保留根号).

D

E
30°

【解析】作CF⊥AB于F,则
tan 30 ? ? CF CF , tan 60 ? ? AF BF

A

B

60°

F

C



AF ?

CF CF 3 ? 3CF , BF ? ? CF ? ? tan 30 tan 60 3

∵ AF ? BF ? AB ? 4000 ∴
3CF ? 3 CF ? 4000 3

∴ C F ? 2000 3 ( m )

∴海底黑匣子C点距离海面的深度 为 ( 500 ? 2000 3 )m

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角 三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.


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