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28.2解直角三角形(1)

发布时间:2013-12-21 11:47:42  

人教课标九下·§28.2(1)

28.2 解直角三角形(1)

这样的问题怎么解决
问题: 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的 顶端,梯子与地面所成的角a一般要满足 50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精

确到0.1m)?
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成

的角a等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全
使用这个梯子?

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面 的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.

问题(1)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜
边AB=6,求∠A的对边BC的长.
BC AB



sin A ?



B

BC ? AB ? sin A ? 6 ? sin 75?
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m.
α A C

对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面 所成的角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC= 2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数

AC 2.4 ? ? 0.4 由于 cos a ? AB 6

B

利用计算器求得

α

A C a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子与地面

所成的角大约是66° 由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全 的.

在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角 三角形的其他元素吗?
B


BC sin A ? ? BC ? AB? A ? 6 ? sin 75? sin AB AC cos A ? ? AC ? AB?cos A ? 6 ? cos 75? AB
? ?

6 α =75° A C

?A ? ?B ? 90 ? ?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 75
?

?

在图中的Rt△ABC中, (2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三 角形的其他元素吗?
B


6

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? BC ? AB2 ? AC 2 ? 62 ? 2.42 ? 5.5

α A 2.4

C

AC 2.4 cos A ? ? cos A ? ? 0.4 ? ?A ? 66? AB 6

A ? B ? 90? ? B ? 90? ? A ? 90? ? 66? ? 24?

解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知 元素的过程. 事实上,在直角三角形的六个元素中, 除直角外,如果再知道两个元素(其中 至少有一个是边),这个三角形就可以 确定下来,这样就可以由已知的两个元
b
c A

素求出其余的三个元素.

C

a

B

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:

在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
(1)三边之间的关系

a ? b ? c(勾股定理)
2 2 2

A c

(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系

b

C

a

B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

?B的对边 b sin B ? ? 斜边 c

cos A ?

?A的邻边 b ? 斜边 c

?B的邻边 a cos B ? ? 斜边 c

?A的对边 a tan A ? ? ?A的邻边 b


?B的对边 b tan B ? ? ?B的邻边 a

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC ? 2 , BC ? 6 解这个直角三角形.
A

解:? tan A ? BC ? 6 ? 3
AC 2

2
C
6

? ?A ? 60?
?B ? 90? ? ?A ? 90? ? 60? ? 30?

B

AB ? 2 AC ? 2 2

例2 如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这 个直角三角形(精确到0.1).
解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°

b ? tan B ? a
b 20 20 ?a ? ? ? ? 28.6 ? tan B tan 35 0.70
B

A c 35° a b 20 C

b ? sin B ? c
b 20 20 ?c ? ? ? ? 35.1 ? sin B sin 35 0.57

你还有其 他方法求 出c吗?

解决有关比萨斜塔倾斜的问题.
设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为 A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图), 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m

BC 5.2 sin A ? ? ? 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′

C B

A

可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹 角.你愿意试着计算一下吗?

练习 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三 角形;(1)a = 30 , b = 20 ; B 解:根据勾股定理
C ? a2 ? b2 ? 302 ? 202 ? 10 13
A c a=30

b=20 C

a 30 3 tan A ? ? ? ? 1.5 b 20 2

?A ? 56.3
?

?

?B ? 90 ? ?A ? 90 ? 56.3 ? 33.7
? ?

?

在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三 角形; (2) ∠B=72°,c = 14. A 解:
b sin B ? c
c=14
?

b a C

b ? c? B ? 14 ? sin 72 ? 13.3 sin
a cos B ? c

B

a ? c?cos B ? 14 ? cos 72 ? 4.34
?

?A ? 90 ? 72 ? 18
? ?

?


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