haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

28.1锐角三角函数(1)

发布时间:2013-12-21 11:47:45  

人教课标九下·§28.1 (1)

28.1 锐角三角函数 (1)

解决有关比萨斜塔倾斜的问题.

C B

A

问题情境
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着 山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的 绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长 的水管?
B
A C

分 析: 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A=30°,BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于 斜边的一半”,即

?A 的对边 BC 1 ? ? 斜边 AB 2
可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长 的水管.

想一想
在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?
B' B 30m A

50m
C'

C

想一想
?A的对边 B ' C ' 1 ? ? , 斜边 AB' 2 AB'=2B ' C ' =2×50=100

结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于

30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边

1 与斜边的比值都等于 2
A

如图,任意画一个Rt△ ABC,使∠C=90°, ∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比 BC , AB 你能得出什么结论? C

B

想一想
在Rt△ ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°, 所以Rt△ ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得

AB ? AC ? BC ? 2BC
2 2 2

2

AB ? 2 BC
因此
BC BC 1 2 ? ? ? AB 2 2 BC 2

即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不 管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与 斜边的比都等于 2
2

综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A

1 =30°时,∠A的对边与斜边的比都等于 ,是一 2
个固定值;当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比 都等于

2 ,也是一个固定值. 2

一般地,当∠A 取其他一定度数的锐

角时,它的对边与斜边的比是否也是一 个固定值?

探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C '= 90°,∠A=∠A'=α,那么
BC 与 AB
B' C ' 有什么 A' B '

关系.你能解释一下吗?

B A C
A'

B'

C'

在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A= ∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB ? B ' C ' A' B '

BC B ' C ' ? AB A' B '

这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度 数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的 对边与斜边的比也是一个固定值.

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记住sinA 即 B

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c
例如,当∠A=30°时,我们有

斜边
A

c
b

a 对边 C

1 sin A ? sin 30 ? 2
?

在图中
∠A的对边记作a ∠B的对边记作b

当∠A=45°时,我们有
2 sin A ? sin 45 ? 2
?

∠C的对边记作c

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.

解: (1)在Rt△ABC中,
AB ? AC ? BC ? 4

? 3 ? 5
2 2 2 2

B 3 A 4 C

求sinA BC 3 sin A ? ? 因此 AB 5 就是要确定 AC 4 ∠A的对边 sin B ? ? AB 5 与斜边的比; 求sinB就是 (2)在Rt△ABC中, 要确定∠B BC 5 sin A ? ? 的对边与斜 因此 AB 13 边的比
2 2 2 2

B
13 5

AC ? AB ? BC ? 13 ? 5 ? 12

sin B ?

AC 12 ? AB 13

C

A

练 习
根据下图,求sinA和sinB的值.

B

解: (1)在Rt△ABC中,
AB ? AC 2 ? BC 2 ? 52 ? 32 ? 34
A 5

3

C

BC 3 3 34 ? 因此 sin A ? AB ? 34 34

AC 5 5 34 sin B ? ? ? AB 17 34

求sinA就 是要确定∠A 的对边与斜 边的比;求 sinB就是要确 定∠B的对边 与斜边的比


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com