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26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式

发布时间:2013-12-21 11:47:45  

26.1.5用待定系数法 求二次函数的解析式

复习提问:
1.求一次函数解析式的方法是什么? 待定系数法

2. 二次函数的一般形式是什么?它有几个待定系数? y=ax2+bx+c(a≠0),有3个待定系数a、b、c 3. 二次函数的顶点式是什么?它有几个待定系数?
y=a(x-h)2+k (a≠0),有3个待定系数a、h、k
一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标 即为方程ax2+bx+c=0的解x1 ,x2 ,所以,已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为( x1 ,0), ( x2 ,0)时,二次函 数解析式y=ax2+bx+c又可以写为y=a(x- x1)(x- x2), 其中x1 ,x2 为两交点的横坐标。 4 、二次函数的交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2),其 中x1 ,x2 为两交点的横坐标 ,它有3个待定系数a、 x1 、x2 今天学习用待定系数法求二次函数的解析式

温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式?
? 一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) ? 顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)

特殊形式 ? 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

例1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、
(2,7)三点,求这个函数的解析式 解:设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c

a-b+c=10 由条件得: a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得: a=2, b=-3, c=5 因此:所求二次函数是: y=2x2-3x+5

已知抛物线上任意三点时, 通常设为一般式

待定系数法

练习:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时, 函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.

解:设所求的二次函数为y ? ax2 ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c ? 10 a?b?c ? 4

解得,a ? 2, b ? ?3, c ? 5 ?所求的二次函数是y ? 2 x 2 ? 3x ? 5

4a ? 2b ? c ? 7

例2:已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3),求出 对应的二次函数解析式 解:设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k 已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时, ∵顶点是(1,2) 通常设为顶点式 2+2, ∴y=a(x-1) 又过点(2,3) ∴a(2-1)2+2=3,∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3
练习: 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3 时有最大值4,求出对应的二次函数解析式;

y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59

已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为(3,4), 所以设为顶点式较方便

例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0, -3),求出对应的二次函数解析式。
解:设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3, ∴y=a(x-1)(x-3), 又过(0,-3), ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时,通常 设为交点式(两根式)

练习:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5, 0)两点,它的对

称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式 y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5 是____________ ___。
分析:因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称, 又B(5,0)关于直线x=2的对称点坐标为(-1,0),所以可以设为交 点式,类似例3求解,当然也可以按一般式求解。

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3-1)2+3

y
3 A 2

B(1,3)

3 ∴ 解得: a=- 4 1 因此抛物线的解析式为: y= 3 (x-1)2+3 (0≤x≤3) -4 O 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.

1

2

C(3,0) x 3

一般式: y=ax2+bx+ c

例 题





例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
的距离为4,求此二次函数的解析式. 解: 设函数关系式 y=a(x-3)2-2

顶点式: y=a(x-h)2+k

∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3

∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2 1 a= 2 1 ∴y= (x-3)2-2 2

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

2 练习:如图,已知二次函数 y ? ax ? 4x ? c 的图像经过点A和 点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两 点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离. 解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代

?? 1 ? a ? (?1) 2 ? 4 ? (?1) ? c, 入 y ? ax ? 4 x ? c 得 ?? 9 ? a ? 32 ? 4 ? 3 ? c. ? 解得 ?a ? 1, ?c ? ?6. ?
2

y

-1 O A -1

3
x

∴二次函数的表达式为. ? x y

2

? 4x ? 6

(2)对称轴为直线x=2 ;顶点坐标为(2,-10). 2 2 (3)将(m,m)代入 y ? x ? 4 x ? 6 ,得m ? m ? 4m ? 6 , m1 ? ?1 不合题意,舍去-9 解得 m1 ? ?1, m2 ? 6 ,∵m>0,∴ 图13 ∴ m=6 ∵点P与点Q关于对称轴 x=2 对称,∴点Q到x轴的距离为6.

B

练习:已知一抛物线与x轴的交点A(-2,0),B(1,0)且 经过点C(2,8)
分析:由已知,抛物线过点(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点, 因此可以设一般式求解析式

(1)求该抛物线的解析式

(2)求该抛物线的顶点坐标

解:设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c

4a-2b+c=0
a+b+c=0 4a+2b+c=8 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 解这个方程组得,

a=2 b=2 C=-4

所以该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2)


? y ? ?







求二次函数解析式的一般方法:
已知图象上三点或三对的对

应值, 通常选择一般式y=ax2+bx+c; 已知图象的顶点坐标*对称轴和最值) 通常选择顶点式y=a(x-h)2+k, x 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2, 通常选择交点式(两根式)y=a(x-x1)(x-x2) 。 确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式,

o

作业:课本P15习题26.1第10题
? 练习:课本P13练习第1、2题 ? 课本P15习题26.1第9、11、12题 ? 《新课程学习指导》

P

结束寄语
? 探索是数学的生命线.


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