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19.3等腰梯形的判定课件人教版

发布时间:2013-12-21 11:48:02  

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19.3 梯形(2)
---等腰梯形的判定

1.梯形的定义及类型:
等腰梯形 一组对边平行, 四边形 另一组对边不平行

梯形
直角梯形

2.等腰梯形的性质: 等腰梯形是一个轴对称图形,上下底的中点 的连线所在的直线是它的对称轴。 (1) 等腰梯形的两底平行,两腰相等; (2) 等腰梯形同一底边上的两个角相等; (3)等腰梯形的两条对角线相等。

A

E

D

在梯形ABCD中 ∵AD∥BC AB=CD ∴∠B=∠C或∠A=∠D
( 等腰梯形同一底上的两个角相等 )

B

F

C

AC=BD
( 等腰梯形的两条对角线相等 )

等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴

知识再现:
梯形问题中常用的辅助线作法

1、平移一腰

2、作底边上的两条高

3、平移对角线

4、延长两腰

A

D

B

C

F

5、把上底下底集中到一条边上 的辅助线法.

一款汽车内置的音响设备,为方便后备箱 内摆放,侧面设计为一个等腰梯形。如果你是 质检员,你怎样测量、比较,判断音响的侧面 形状是否符合标准呢? A C

B

D

等腰梯形的判定
1.定义 A D

B

C

两腰相等的梯形叫做等腰梯形

用 法

∵AC∥BD,AB=CD ∴梯形ABCD是等腰梯形

想一想:等腰梯形还有没有其它的判定方法呢?

A

D

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
对角线相等的梯形是等腰梯形.

B

C

猜想:什么样的梯
形是等腰梯形?

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
A D

已知:
C

如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,∠B= ∠C

B

求证:梯形ABCD是等腰梯形
证明:

方法

方法

方法

方法

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
A D

已知:
C

如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,∠B= ∠C

B



求证:梯形ABCD是等腰梯形
证明: 过A作AE∥CD,交BC于E. ∴∠AEB=∠C. ∵∠B=∠C, ∴ ∠B=∠AEB ∴AE=AB 又∵AD∥CE,AE∥CD, ∴四边形AECD为平行四边形 ∴AE=CD ∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
A D

已知:
C

如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,∠B= ∠C

B

E

F

求证:梯形ABCD是等腰梯形
证明:作AE⊥BC于E,DF⊥CB于F

分析:证Rt△ABE≌Rt△DFC ∴AB=DC. ∴梯形ABCD是等腰梯形

E

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 已知: 如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,∠B= ∠C
D

A

求证:梯形ABCD是等腰梯形
B C

证明:延长BA、CD交于点E

分析:证EB=EC,EA=ED
∴EB-EA=EC-ED 即AB=CD ∴梯形ABCD是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BD 求证:梯形ABCD是等腰梯形

A

D

B
方法 方法

C

对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BD 求证:梯形ABCD是等腰梯形 证明: 作AE⊥BC于点

E, 作DF⊥BC于点F 分析:证Rt△AEC≌Rt△DFB ∴∠ACE=∠DBF 再证△ABC≌△DCB ∴AB=CD

A

D

B

E

F C

∴梯形ABCD是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BD 求证:梯形ABCD是等腰梯形 证明:过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E ∵ AD∥BC ∴四边形 ACED是平行四边形 ∴DE=AC,又∵AC=BD,∴BD=DE

A ∴∠E=∠DBE 又∵DE∥AC ∴∠E=∠ACB,∴∠DBE=∠ACB ∵AC=BD , BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴AB=DC B ∴四边形ABCD是等腰梯形

D

C

E

A

D

符号语言:

在梯形ABCD中, ∵AD∥BC ∠A= ∠D AB= ∠C ∠B= CD ∴梯形ABCD是等腰梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形. ( 同一底上的两个角相等的 )
梯形是等腰梯形.

B

C

A

D

在梯形ABCD中, ∵AD∥BC AC= BD
C

B

∴梯形ABCD是等腰梯形 ( 对角线相等的梯形是等腰梯形. )

一款汽车内置的音响设备,为方便后备箱 内摆放,侧面设计为一个等腰梯形。如果你是 质检员,你怎样测量、比较,判断音响的侧面 形状是否符合标准呢? A C

B

根据定义:

D

两腰相等的梯形是等腰梯形 还有其他的判定方法吗?

如图,在梯形ABCD中, AD∥BC, A D 给出条件:∠A与∠C互补 B C 梯形ABCD是等腰梯形吗?

结论:一组对角互补的梯形是等腰梯形

例2、如图,梯形ABCD中,BC∥AD, DE∥AB,DE=DC,∠A=120°,求梯形的 其他三个内角的度数。 A D 解:

∵ BC∥AD , DE∥AB ∴四边形ABED为平行四边形. ∴ AB=DE E B C 又∵ DE=DC ∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠C, ∠A=∠ADC, 又∵∠A=120° 故梯形的其他三个内 ∴∠A=∠ADC=120° 角的度数分别为: 60°、60°、 120°. 又∵ BC∥AD ∴∠B=∠C=180°-∠A=60°

1、判断下列命题是否正确
①有两个角相等的梯形是等腰梯形;( × )

③有一组对边平行的四边形是等腰梯形; ( × ) ④有一组对角互补的梯形是等腰梯形(√ )
A

C

A

C

A

C

B

(1)

D

B

(2)

D

B

D

(3)

×
B

②有两条边相等的梯形是等腰梯形; (



A

C

D

(4)

学以致用
2、在四边形ABCD中AD∥BC,AD≠BC, 若使它成为等腰梯形,则需添加的条件是

∠B= ∠C或AC=BD (填一个正确的条件即可)。

A

D

B

C

学以致用
3、如图,四边形ABCD由三个全等的正

三角形围成,它是____________(图 等腰梯形
形),说说为什么?
A D

B

E

C

4、画一个等腰梯形,使它的上、下底分别是 5cm、11cm,高为4cm,并计算它的周长和面 积。
画法: (1)画Rt△ABE,使∠AEB=90°, A D F AE=4cm,BE=3cm; (2)延长BE到C,使BC=11cm; (3)过A作AF∥BC,且使AF、 B BC在AB的同旁,在AF上截 E C ∴AB=DC=5cm 取AD=5cm; (4)连接DC,则四边形ABCD ∴等腰梯形的周长为: AB+BC+CD+DA 即为所求的等腰梯形

在Rt△ABE中,∠AEB=90°, AE=4cm,BE=3cm 由勾股定理得,AB=5cm ∵四边形ABCD是等腰梯形 =5+11+5+5=26cm ∴等腰梯形的面积为:
1 (A D ? B C)A E 2 1 ? (5 ? 11)? 4 ? 32cm2 2

小结
1、等腰梯形的判定方法: 两腰相等的梯形 同一底上两个角相等的梯形 是等腰梯形 对角线相等的梯形 2、通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行 四边形、矩形或三角形问题,使学生体会图形 变换的方法和转化的思想.

课本 : 习题19.3
P110 7

思维拓展
如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC, AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求梯形的面积。
解:过点D作DE∥AC交BC的延长线 于点E,作DF⊥BC,垂足为F, ∵ AD∥BC, ∴四边形ACED为平行四边形, ∴ CE=AD=2,DE=AC=6 B ∴BE=BC+CE=10

A

D

在△DBE中,满足BD2+DE2=BE2 ∴△DBE为直角三角形 ∵ DF⊥BC,由面积公式可得:DF●BE=BD●DE ∴DF=4.8

F

C

E

1 ∴梯形ABCD的面积= (2+8)×4.8=24 2

思考题:

如图,梯形ABCD中, AD∥BC,AB=CD, 对角线AC⊥BD,AD=4,BC=10, 求梯形ABCD的面积。 A D

B

C

拓展训练
已知:四边形ABCD是直角梯形,AB=8cm,∠B=900
AD=24cm,BC=26cm,点P从A出发,以1cm/s

的速度向D运动,点Q从C出发,以3cm/s的速
度向B运 动,其中一动点达到端点时,另一动 点随之停止运动。从运动开始,经过多少时间, 四边形PQCD是平行四边形?成为等腰梯形?
D P A

C

Q

B


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