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【ppt】实数课件3

发布时间:2013-12-21 13:38:18  

思路一:
开方包括开平方与开立方, 通过开平方可以求一个非负实数的 平方根; 通过开立方可以求一个实数的立方 根, 你所能够画出的知识结构图是:

思路一
开方包括开平方与开立方,通过开平方可以求一个非负实数的平方 根;通过开立方可以求一个实数的立方根,画出的知识结构图是:

互逆运算

乘方

?开平方 ? 算术平方根 ? 平方根 开方? ?开立方 ? 立方根

思路二:

平方根、算术平方根、立方根 的定义、性质也都很重要, 由此可分类如下:

思路二:
平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都很重要,由此可分类如下:

互逆运算 乘方

? ? ?定义 ? ?算术平方根? ? ?性质 ? ? ? ?定义 ? ? ? ?开平方? ?一个正数有两个平方根, ? ? ? ? ? ? 平方根? ? ?它们互为相反数; ? 性质? ? ? ? 开方 ? ?0的平方根是0; ? ? ? ?负数没有平方根。 ? ? ? ? ? ? ? ?定义 ? ? ? ?正数有一个正的立方根; ? 开立方 ? ?立方根? ? ? 性质?负数有一个负的立方根; ? ? ?0的立方根是0. ? ? ? ? ?

1.平方根的定义及性质
定义:一个数 x 的平方等于a,即x2=a,则 x

叫 a 的平方根. 记作: X = ? a (a≥0)
0的平方根是0. 性质: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数.

0的平方根是0.
负数没有平方根.

2 算术平方根的定义及性质
定义:一个 正数 x 的平方等于a,则 x 叫 a 的 算术平方根. 记作:X =

a

(a≥0)

0的算术平方根是0.
因为 所以

a 表示 a 的算术平方根, a ≥0
(a≥0)

3. 立方根的定义及性质
定义:一个数 x 的立方等于a,即x3=a,则 x 叫 a 的立方根. 记作: X = 3 a 0的立方根是0. 性质: 一个正数有一个正的立方根, 一个负数有一个负的立方根.

0的立方根是0.

讨 论

∵ 12=1, 22=4 ∴ 1 < 2< 2 ∵ 1.42=1.96, 1.52=2.25 ∴ 1.4 < 2 < 1.5 ∵ 1.412=1.9881, 1.422=2.0164 ∴ 1.41 < 2< 1.42 ∵ 1.4142=1.9881, 1.4152=2.002225 ∴ 1.414 < 2< 1.415

2

是无理数吗?

…… 2 =1.414213562373… 我们把这种无限且不循环的小数叫做无理数。

有很多同学对无理数这个概念不是很理解,我们只有找到无 理数在实际中的意义,我们才可以很好的接受它。比如

2 当我们知道边长为1的正方形的对角线的长度就是 2
时,我们很好的接受了它。 拼大正方形

你知道哪些数是无理数?

圆周率? 及一些含有 ? 的数都是无理数
例如:? ,

?
2

, 2? ? 1

开不尽方的数都是无理数

像 7,
例如:

3, ? 12 的数是无理数。

注意:带根号的数不一定是无理数

25 ? 25 ? 5

?

25是有理数

有一定的规律,但不循环的无限小数 都是无理数。
例如: 0.1010010001…〔两个1之间依次

多1个0〕 —168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕 0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正 整数组成〕

有理数和无理数统称为实数。

? ? 实数 ? ? ? 无理数

有理数

实数的定义:
有理数和无理数统称为实数.

有理数 即:实数 无理数

正实数 负实数

或:实数 零

有理数和无理数统称为实数。 ? 整数 ? 正有理数 ? ? ? 或 有理数 ? ? 有理数 ? 零 ? 分数 实数 ?(有限小数或 ? 负有理数 ? ?无限循环小数) ? ? 正无理数 你学会了吗? ? ? 无理数
(无限不循环小数)负无理数
? ? ?

实数

正实数 0 负实数

正有理数 正无理数 负有理数 负无理数

实数

?

有理数

?

正有理数 零 负有理数

?正分数

正整数

无理数

?

?

负整数

负分数 无限不 循环小 数

?

正无理数

负无理数

?

有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数

复习巩固

1、判断下列说法是否正确: 1. 无限小数都是无理数。( ×) 2.无理数都是无限小数。( ) 3.带根号的数都是无理数。( ×) 4.所有的有理数都可以用数轴上的点表示,反过 来,数轴上所有的点都表示有理数。( × )

5.所有的实数都可以用数轴上的点表示,反过来, 数轴上所有的点都表示实数。( ) 6.无理数都是无限不循环小数。( ) 7.两个无理数之积不一定是无理数。( )

8.两个无理数之和一定是无理数。(

×)

练习:把下列各数分别填入相应的集合中: 22 3 2, , 3.14159265 7 , ?8, , 7 ? 0.6, 0, 36, 3 .

22 , , 3.14159265 7

7,

3

2,

?
3

?8, 0.6, 0,

???

36 ,

???
无理数集合

有理数集合

把下列各数分别填入相应的括号内:
3

1 , ? 5 , π, 2, 4 2

2,

有理数和无理数统称为实数 0.3737737773 ? ? ? ? 0.181818 ? ? ? ,

7, ? 3 8 ,

? 3,

20 , ? 5, 3

4 , 0, 9

??
有理数集合

??
无理数集合

我们知道有理数都可以在数轴上表示出来,那么无理数是否可 以在数轴上表示出来呢?

? 请看下面两个例子,

2和

? 是否能够在数轴上表示出来 ?

? 2

数轴上的点有些表示 有理数,有些表示无 理数.

在数轴上表示的两个 实数,右边的数总比 左边的数大。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上 的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的。

在数轴上作出

5

对应的点。

5

2

-2

-1

0

1

2

5

实数与数轴上的点一一对应,实数可以比 较大小.实数有相反数,倒数,绝对值.有理 数的运算法则和运算律在实数范围内仍 然适用.

实数的定义:
有理数和无理数统称为实数.

有理数 即:实数 无理数

正实数 负实



或:实数 零

a ? b ? a?b
a ? b a b

(a ? 0, b ? 0)

(a ? 0, b ? 0)

你能用前面的规律解这几个题 吗?

(1) 2 × 8 = 2 ? 8 ? 16 ? 4;
(2) 2 × 3 × 6 = 2 ? 3 ? 6 ? 36 ? 6;
20 (3) = 5
20 ? 5

4?2

5 × 10 50 ? = (4) 2 2

50 ? 25 ? 5. 2

1 2 化 2 2 (1) 2 ? 4 ? ? ; 简 4 2
48 ? 3 ? 16 ? 3 ? 3 ? 16 ? 3 ? 3 ? 16 ? 3 ? 3 ? 4 3 ? 3 ? 3 3; 1 5 5 (3) 5 ? ? 5 ? ? 5? 5 25 25 5 4 5 ? 5? ? . 5 5

(2)

一、填空题(一): ±2 ; 1、 4的平方根是 2、 4 的平方根是 ? 2 ; 3、 16的平方根是 ±4 ; 4、 16的平方根是 ±2 ;

5、 25的算术平方根是 5 ; 2 (? 6、 4) 的算术平方根是 4 ; 7、 9的算术平方根是 3 ;

8、9 的算术平方根是

?2

1 9



9、-125的立方根是 -5 ; 10、-27的立方根是 -3 ;

8 11、 的立方根是 125

2 5



12、-5的立方根是 ? 5 ;
3

规定: a 0 ? 1 (a ? 0).

13、 (?5) 的立方根是 1
0



14、 与数轴上所有的点一一对应 的数是( D ) (B)有理数 (A)整数 (C)无理数 (D)实数

化简:

(1)
( 2) ( 3)

50 ? 5 2 ;
6 2 ? 3 3 2 1 ? 2 2

; ;

平方差公式:

(a ? b)(a ? b) ? a ? b .
2 2

(4) ( 5 ? 6 )( 5 ? 6 ) ? -1 ; (5) ( 15 ? 4)( 4 ? 15 ) ? -1 ; (6) (2 ? 3 )( 2 ? 3 ) ? 1 ; (7) ( 5 ? 7 )( 5 ? 7 ) ? -2 ;

完全平方公式:

(a ? b) ? a ? 2ab ? b .
2 2 2

(7) (2 5 ? 3 ) ? 23 ? 4; 15
2

9 2 2 ( 8) ( 5 ? ) ? 5
5
2

;

(9) ( 2 ? 5 ) ?7 ? 2 10 ;

(10)

13 2 1 ? 18 ? 4 ;
8 12 ?

(11)

27

16 3 1 1 ? ? 9 ;
3

(12) (1 ? 3 )( 2 ? 3 ) ? 3 ? 1; 12 ? 6 (13) ? 3 ; 24 55 7 ? 1 (14) ? 28 ? 700 ? 7 ; 7

探测 a2 与a的关系与 (

a)

2

与a的关系

解:由已知可得OB= 5 ,?OAB的OB边上的高为 2 1 S?OAB= 5? 2 2 1 ≈ × 2.24× 1.41 2
≈1.6

答:?OAB的面积约是1.6.

变题:如图,点B的坐标为( 5 ,0), ?OAB
面积为 10 ,点A的坐标为(1, y )

2 求A点的纵坐标. 解: 由已知可得 OB ? 5 , ?OAB的OB边上的高为|y|.

∵S?OAB=
1 ∴ × 2
∴| y |=
∴y =±

10 2

∵点A在第一象限

5 ×
2 2

|y|=

10 2

∴A点的纵坐标是 2

拓广探索

解:

(1)围成的四边形ABCD是长方形.

(2)由已知AB=5-2=3,AD= 2 2 ? 2

? 2
2)、

四边形ABCD的面积=AB× AD = 3 2 (3)A、B、C、D四点的坐标分别变为(2, 2 )、(5, ( 5, 0)、( 2, 0)

综合运用

P92

D

解:(1)过点B作BD⊥x轴于点D.
则OC ? 2 3, CD ? 3, BD ? 3,所以OD ? 2 3 ? 3 ? 3 3, 所以B点的坐标是B(3 3,3)
A(0, 3) , B(2 3 , 3 ), C ( 3 ,0), O(? 3 ,0)
(3)四边形OABC的面积=OC× BD = 2 3 ? 3 ? 6

(2)所得四边形的四个顶 点的坐标是

综合运用

解:将l=0.5m代入公式t=2? t≈2× 3.14× 0.22

l 10

,得

t≈1.4 (s) 答:小重物来回摆动一次所用的时间约1.4s。

综合运用

解:

∴圆

的周长C1=2 ? r =2

设圆的半径为r cm,正方形的边长为a cm. 由题意,得 r2=2 , a2=2 ∴r = 2 , a = 2

?

? ?

?

2

正方形的周长C2=4a=4

? 2?

∴C1<C2 即正方形的周长较大. 在面积相等的圆和正方形中,圆的周长小于正方形的周长.

解:

设这种容器的半径为R dm.

由题意,得

4 ? R3=500 3
R=
3

375

?

R ≈4.92

答: 这种容器的半径约为4.92dm.

拓广探索

P184

0或1

0
0或±1 0或±1

0或1

学习了本节课你有哪些 收获?


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