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§28.1.2_圆的对称性(二)

发布时间:2013-12-21 15:50:02  

28.1.2圆的轴对称性(二)

探究一: 动手操作:
如何将圆两等分?四等分?八等分?

你还可以将圆 多少等分呢?

探究二:
如图,如果在圆形纸片上任意画一条直径CD,过 直径上一点P作弦AB,弦AB与直径CD一定垂直吗?
C
C

A

.

O
B
· A P

O · B D

P D

若将图1沿着直径CD对折,你能发现什么结论?
在⊙O中,如果 直径CD ? 弦AB,垂足为P,

那么弦

AD AP ? BP、 ? BD、AC=BC

下面我们来看看如何来证明这个命题?

C O
E ┐

垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧。 已知:在⊙O中, AB是弦, CD是直径,CD⊥AB于E 求证:AE=BE,AC=BC , AD=BD
B

A D

已知:在⊙O中,CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB是弦,CD⊥AB,垂足为E。求 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证:AE=BE,AC=BC,AD=BD。
证明:连结OA、OB,则OA=OB。 ∵垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。 ∴当把圆沿着直径CD折叠时,CD 两侧的两个半圆重合,A点和B点重 ⌒ ⌒ 合,AE和BE重合,AC、AD分别和 ⌒ ⌒ BC、BD重合。 ∴ AE=BE,AC=BC,AD=BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒

C

.

O E B

A

D

叠 合 法

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧。
题设
(1)过圆心
(直径)

结论



(2)垂直于弦



(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

讨论

(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4) 平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
(2) (2) (4) (3) (5) (1) (3)

(3)

(1)

(4)
(5)

(1)
(4)

(3)

(2)
(5)

(1)
(5)

(4)
(2)

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧

推论1:1.过圆心2.垂直于弦3.平分弦
4.平分优弧5.平分劣弧.知二推三
特殊记忆: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.

注意

根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备

(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对 的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出 其他三个结论,简称知二推三.

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧除外.

判断
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且 经过圆心……………………………………..(√ ) (3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )

(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧……………………………

…………( × ) (5)圆内两条非直径的弦不能互相平分( √ )

垂径定理的推论2

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹 的弧相等吗? 提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
2.两条弦在圆心的两侧
A B D


1.两条弦在圆心的同侧
O

A C



O

B

C

D

M 已知:⊙O中弦 AB∥CD。 C A D B

.O

求证:AC=BD
N 证明:作直径MN⊥AB。∵AB∥CD, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM=BM,CM=DM (垂直平分弦的直径平分弦所对的弦) AM-CM=BM-DM ∴AC=BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒





垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等。

C

例:平分已知弧

AB 已知:弧AB
求作:弧AB的中点 E

A
作法: ⒈ 连结AB.

B

⒉作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E. D

点E就是所求弧AB的中点。

变式一: 求弧AB的四等分点。
C m n

F
A

E

G

B

D

错在哪里?
1.作AB的垂直平分线CD。
E

C G

2.作AT.BT的垂直
平分线EF.GH
A
N M P

T

B

等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线。
F H

D

C m E A n

B

变式二:你能确定

弧AB的圆心吗?
O D

你能破镜重

圆吗?
n m C B

A

·
O

作弦AB.AC及它们的垂直平

分线m.n,交于O点;以O为圆 心,OA为半径作圆。

破镜重圆
A

m

n
C

B

·
O

作图依据:
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

M A B C A A O E D B

. O
C

.

.O
D B N

小结:

解决有关弦的问题,经常是过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半 径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。

练习
1.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点,则线段OM的长的最小

值为____.最大值为________. 3 5

2. 如图,矩形ABCD与圆O交于点
A、B、E、F,DE=1cm,EF=3cm, 5 则AB=________cm
D A O E F C B

作业
1. 如图,已知在⊙O中,

弦AB的长为8厘米,圆心O 到AB的距离为3厘米,求 ⊙O的半径。

A

E

B

. O

解:连结OA。过O作OE⊥AB,垂足 为E,则OE=3厘米,AE=BE。 ∵AB=8厘米 ∴AE=4厘米 在RtAOE中,根据勾股定理有OA=5 厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。

2. 已知:如图,在以O为 圆心的两个同心圆中,大 圆的弦AB交小圆于C,D 两点。 求证:AC=BD。
A C

O
E D B

.

证明:过O作OE⊥AB,垂足为 E,则AE=BE,CE=DE。 AE-CE=BE-DE。 所以,AC=BD

3. 已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的 两条平行弦AB=40 cm ,CD=48cm, 求弦AB与CD之间的距离。

A
C

20 E
25 25 24

B
7

A
C

E

B

. 15 O

D

.F O

D

EF有两解:15+7=22cm

15-7=8cm

4.已知:AB是⊙O直径,CD 是弦,AE⊥CD,BF⊥CD 求证:EC=DF
O

B

.
D F

A E C

5.如图,在圆O中,已知AC=BD, 试说明:(1)OC=OD (2)AE= BF
O A C E D F B






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