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分类讨论型问题(补)

发布时间:2013-12-21 16:47:19  

分类讨论型问题

一、选择题:
1. 如图, A 的坐标是(2,2), 点 若点 P 在 x 轴上, 且△APO 是等腰三角形,则点 P 的坐标不可能是( B ) A.(4,0) C.(-2 B.(1,0) D.(2,0)

2,0)

解析:当 P 点坐标为(4,0)时,点 A 在 OP 的中垂 线上,OA=PA;当 P 点坐标为(-2 2,0)时,OP= OA=2 2;当 P 点坐标为(2,0)时,OP=AP=2,所 以 P 点坐标不可能为(1,0).故选 B.
?x2+2?x≤2?, 2.若函数 y=? 则当函数值 y=8 ?2x?x>2?, 时,自变量 x 的值是( D ) A.± 6 B.4 C.± 6或 4 D.4 或- 6

解析: 当 x≤2 时,x2+2=8,x=± 6(舍去 6);当 x>2 时,2x=8,x=4.综上,x=- 6或 x=4. 3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,分别平行 x、y 轴 的两直线 a、b 相交于点 A(3,4),连接 OA,若在直线 a 上存 在点 P,使△AOP 是等腰三角形,那么所有满足条件的点 P 的坐标是( D )
A.(8,4) B.(8,4)或(-3,4) C.(8,4)或(-3,4)或(-2,4)
? ? 7 D.(8,4)或(-3,4)或(-2,4)或?-6,4? ? ?

解析 ∵点 A 的坐标为(3,4), ∴OA= 32+42=5. 当 AP=AO 时, 可知 P1(-2,4),P2(8,4), 当 OP=OA 时,可知 P3(-3,4), 当 PO=PA 时,设 PO=PA=m. 25 有(m-3)2+42=m2,m= , 6 ? ? 7 7 ∴m-3= ,P4?-6,4?,故选 D. 6 ? ?

4.矩形一个内角的平分线分矩形一边长为 1 cm 和 3 cm 两部分,则这个矩形的面积为多少 cm2?( C ) A.4 B.12 C.4 或 12 D.6 或 8
解析: 如图①, 矩形=1×(1+3)=4; S 如图②, 矩形=3×(3 S +1)=12,故选 C.

k 5.若正比例函数 y=2kx 与反比例函数 y= (k≠0)的图象交 x 于点 A(m,1),则 k 的值是( B ) 2 2 2 A.- 2或 2 B.- 或 C. D. 2 2 2 2

k 解析:A(m,1)代入 y= 中,得 m=k,代入 y=2kx 中, x 2 2 2 1 得 2k =1,k = ,所以 k=± . 2 2
二、填空题:
6.一个等腰三角形的一个外角等于 110° ,则这个三角形的三个 角应该为 0°,70°,40°或55°,55°, .
70°

解析:当等腰三角形的底角的外角等于 110° 时,其底角为 70° ,顶角为 180° -70° ×2=40° ;当等腰三角形的顶角的外 180° -70° 角等于 110° 时,其顶角为 70° ,底角为 =55° . 2

7. 如图所示, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90° , AD=AB=6,BC=14,点 M 是线段 BC 上一定点,且 MC= 8.动点 P 从 C 点出发沿 C→D→A→B 的路线运动,运动到点 B 停止. 在点 P 的运动过程中, 使△PMC 为等腰三角形的点 4 P 有________个.

解析:当 MC 为底边时,MC 的中垂线交 CD 于一点 P, 该点能满足 PM=PC;当 MC 为腰时,分别以 C、M 为圆心, MC 长为半径画圆,⊙C 与 CD 交于一点 P,⊙M 与 AB、AD 各有一个交点,因此,满足条件的点 P 有 4 个. 8.在△ABC 中 ,AB=AC=12 cm,BC=6 cm,D 为

BC 的中点,动点 P 从 B 点出发,以每秒 1 cm 的速度沿 B→A→C 的方向运动,设运动的时间为 t 秒,过 D、P 两点 的直线将△ABC 的周长分成两个部分,使其中一部分是另一 11或13 部分的 2 倍,那么 t 的值为________.

解析:当 0<t≤12 时,点 P 在 AB 上,2(t+3)=12+3+ (12-t),t=11;当 12<t<24 时,点 P 在 AC 上,2[3+(24-t)] =3+12+t,解得 t=13. 中,点 E 在边 DC 上,DE=2, 9.已知正方形 ABCD
EC=1,如图所示.把线段 AE 绕点 A 旋转,使点 E 落在直 1或5 线 BC 上的点 F 处,则 F、C 两点的距离为_______.
解析:题目里只说“旋转”,并没有说顺时针还是逆时 针,而且说的是“直线 BC 上的点”,所以有两种情况如图 所示: 旋转得到 F1 点,则 F1C=1; 旋转得到 F2 点,则 F2B=DE=2,F2C=F2B+BC=5.

10.如图,点 A、B 在直线 MN 上, AB=11 cm,⊙A、 ⊙B 的半径均为 1 cm, ⊙A 以每秒 2 cm 的速度自左向右运动, 与此同时, ⊙B 的半径也不断增大, 其半径 r(cm)与时间 t(秒) 之间的关系式为 r=1+t(t≥0), 当点 A 出发后 3或或11或13 秒 两圆相切.

解析:两圆相切可分为如下四种情况: ①当两圆第一次外切,由题意, 可得 11-2t=1+1+t,t=3; ②当两圆第一次内切,由题意, 11 可得 11-2t=1+t-1,t= ; 3 ③当两圆第二次内切,由题意, 可得 2t-11=1+t-1,t=11; ④当两圆第二次外切,由题意, 可得 2t-11=1+t+1,t=13. 11 所以, A 出发后 3 秒或 秒或 11 秒或 13 秒两圆相切. 点 3

三、解答题: 11.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC=2 cm,F 是弦 BC 的中点,∠ABC=60° .若动点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点出发 沿着 A→B→A 方向运动,设运动时间为 t(s)(0≤t<3),连接 EF,当 t 值为多少时,△BEF 是直角三角形.
解 ∵AB 是⊙O 的直径, ∠ABC=60° , ∴∠C=90° ,AB=2BC=4. 当∠BFE=90° 时, ∵F 是 BC 中点, 1 ∴BF= ×2=1. 2 在 Rt△BEF 中,∠B=60° , ∴BE=2BF=2×1=2,AE=4-2=2. 又∵AE=2t,∴2t=2,t=1. 当∠BEF=90° 时, 1 1 在 Rt△BEF 时,BE= BF= , 2 2 1 1 ∴AE=4- =3 , 2 2 1 ∴2t=3 ,t=1.75. 2 1 同样,当 t=1.75+ =2.25 时,∠BEF=90° . 2 综上,t=1 或 1.75 或 2.25.

12. 已知 A(1,0), B(0, -1), C(-1,2), D(2, -1), E(4,2) 五个点,抛物线 y=a(x-1)2+k(a>0),经过其中三个点. (1)求证:C、E 两点不可能同时在抛物线 y=a (x-1)2+ k(a>0)上; (2)点 A 在抛物线 y=a (x-1)2+k(a>0)上吗?为什么? (3)求 a 和 k 的值.

解:(1)证明:将 C,E 两点的坐标代入 y=a (x-1)2+k(a ?4a+k=2, ? >0),得? 解得 a=0,∴与条件 a>0 不符, ?9a+k=2, ? ∴C、E 两点不可能

同时在抛物线 y=a (x-1)2+k(a>0)上.

(2)∵A、C、D 三点共线(如图), ∴A、C、D 三点也不可能同时在抛物线 y=a (x-1)2+ k(a>0)上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能:①A、B、C; ②A、B、E;③A、B、D; ④A、D、E;⑤B、C、D;⑥B、D、E. 将①、②、③、④四种情况(都含 A 点)的三点坐标分别 代入 y=a (x-1)2+k(a>0),解得:①无解;②无解;③a= -1,与条件不符,舍去;④无解. 所以 A 点不可能在抛物线 y=a (x-1)2+k(a>0)上. (3)①当抛物线经过(2)中⑤B、C、D 三点时,则 ?a+k=-1, ?a=1, ? ? ? 解得? ? ? ?4a+k=2, ?k=-2. ②当抛物线经过(2)中⑥B、D、E 三点时,同法可求: ?a=3, ?a=3, ?a=1, ? 8 ? 8 ? ? 综上,a 和 k 的值为 或? ? ?k=-2 11 11 ? ?k=- 8 . ?k=- 8 . ? ?


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