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因式分解经典教案

发布时间:2013-12-21 16:47:22  

因式分解

知识点归纳:

因式分解的定义:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这

个多项式因式分解,也叫作分解因式。

方法:

(1)提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式 。 提公因式法基本步骤:

(1)找出公因式(2)提公因式并确定另一个因式:

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀:找准公因式,一次要提尽,全家都搬走,留1把家守,提负要变号,变形看奇偶。

(2)公式法:如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法。

平方差公式:

完全平方公式: 反过来为 反过来为

反过来为

注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

(3)分组分解法:能分组分解的多项式有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式:am?an?bm?bn

解:原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n)

=(m?n)(a?b)

思考:此题还可以怎样分组?

此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式

可以提。

例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx

解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)

=2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b)

=(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)

练习:分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式:x?y?ax?ay

分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式=(x?y)?(ax?ay)

=(x?y)(x?y)?a(x?y)

=(x?y)(x?y?a)

例4、分解因式:a?2ab?b?c

解:原式=(a?2ab?b)?c

=(a?b)?c

=(a?b?c)(a?b?c)

注意这两个例题的区别!

练习:分解因式(3)、x?x?9y?3y (4)、x?y?z?2yz

322322(5)x?xy?xy?y (6)ax?bx?bx?ax?a?b

(7)x?6xy?9y?16a?8a?1 (8)a?6ab?12b?9b?4a 2222222222222222222222

(4)十字相乘法:

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。

特点:(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积;

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。

例、分解因式:x?5x?6 分解因式:x?7x?6

222

练习5、分解因式(1)x2?14x?24 (2)a2?15a?36 (3)x2?4x?5

2练习6、分解因式(1)x2?x?2 (2)y?2y?15 (3)x2?10x?24

(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c

条件:(1)a?a1a2 a c1

(2)c?c1c2 a2c2

(3)b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1

分解结果:ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例7、分解因式:3x?11x?10

222练习7、分解因式:(1)5x?7x?6 (2)3x?7x?2 (3)10x?17x?3 222

(三)二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式:a?8ab?128b

分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b

8b+(-16b)= -8b

222 解:a?8ab?128b=a?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)

=(a?8b)(a?16b)

练习8、分解因式(1)x?3xy?2y(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b 22222222

(5)换元法。

例、分解因式(1)2005x?(2005?1)x?2005 (2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x

解:(1)设2005=a,则原式=ax?(a?1)x?a

=(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005)

(2)型如abcd?e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x

设x?5x?6?A,则x?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x=A2?2Ax?x2

=(A?x)=(x?6x?6)

练习、分解因式(1)(x?xy?y)?4xy(x?y) (2)(x?3x?2)(4x?8x?3)?90 222222222222222222222

(6)、添项、拆项、配方法。

32 例15、分解因式(1)x?3x?4

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4

=(x?1)(x?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x?3x?4)?(4x?4)

=(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1)

=(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4)

=(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)

(2)x?x?x?3

解:原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1?x?1?1)

=(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)

42243练习15、分解因式(1)x?9x?8 (2)(x?1)?(x?1)?(x?1)

42422(3)x?7x?1 (4)x?x?2ax?1?a

263363336333396322222223232963

(7)、待定系数法。

22例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6

22分析:原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为

(x?3y?m)(x?2y?n)

22解:设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

22∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn

2222∴x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn

?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得? n?3??mn??6?

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、(1)当m为何值时,多项式x?y?mx?5y?6能分解因式,并分解此多项式。

解:设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab 22222222

?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???

∴当m??1时,原多项式可以分解;

当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);

当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)

练习分解因式(1)x?3xy?10y?x?9y?2 (2)x?3xy?2y?5x?7y?6 2222

一、填空:(30分)

1、若x?2(m?3)x?16是完全平方式,则m的值等于_____。

2、x?x?m?(x?n)则m=____n=____

3、2xy与12xy的公因式是_

4、若x?y=(x?y)(x?y)(x?y),则m=_______,n=_________。

5、在多项式3y?5y?15y中,可以用平方差公式分解因式的

有________________________ ,其结果是 _____________________。 235222326mn2224

6、若x?2(m?3)x?16是完全平方式,则m=_______。

7、x?(_____)x?2?(x?2)(x?_____)

8、已知1?x?x???x

22200422?x2005?0,则x2006?________. 9、若16(a?b)?M?25是完全平方式M=________。

10、x?6x??__??(x?3), x??___??9?(x?3) 2222

11、若9x?k?y是完全平方式,则k=_______。

222212、若x?4x?4的值为0,则3x?12x?5的值是________。

13、若x?ax?15?(x?1)(x?15)则a=_____。

14、若x?y?4,x?y?6则xy?___。

222215、方程x?4x?0,的解是________。

二、选择题:(10分)

1、多项式?a(a?x)(x?b)?ab(a?x)(b?x)的公因式是( )

A、-a、 B、?a(a?x)(x?b) C、a(a?x) D、?a(x?a)

222、若mx?kx?9?(2x?3),则m,k的值分别是( )

A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、D m=4,k=12、

3、下列名式:x?y,?x?y,?x?y,(?x)?(?y),x?y中能用平方差公 式分解因式的有( )

A、1个,B、2个,C、3个,D、4个

4、计算(1?22222222441111)(1?)?(1?)(1?)的值是( ) 223392102

A、11111 B、,C.,D. 2201020

三、分解因式:(30分)

1 、x?2x?35x 2 、 3x?3x 3 、 25(x?2y)?4(2y?x)

4、x?4xy?1?4y 5、x?x 6、x?1 7、ax?bx?bx?ax?b?a

8、x?18x?81 9 、9x?36y 10、(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?24

四、代数式求值(15分)

1、 已知2x?y?

2、 若x、y互为相反数,且(x?2)?(y?1)?4,求x、y的值

3、 已知a?b?2,求(a?b)?8(a?b)的值

22222222243262225322424214334,xy?2,求 2xy?xy的值。 3

五、计算: (15)

3?1?(1) 0.75?3.66??2.66 (2) ???4?2?

六、试说明:(8分) 2001?1?????2?2000(3)2?562?8?56?22?2?442

1、对于任意自然数n,(n?7)?(n?5)都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数,所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算(8分)

1、一种光盘的外D=11.9厘米,内径的d=3.7厘米,求光盘的面积。(结果保留两位有效数字)

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

22

八、老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述: 甲:这是一个三次四项式

乙:三次项系数为1,常数项为1。

丙:这个多项式前三项有公因式

丁:这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式,并将它分解因式。(4分)

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